Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1225 Атанасян — Подробные Ответы
Сферу радиуса \( R \) покрасили слоем краски толщины \( d \). Слоем такой же толщины покрасили многоугольник и затратили при этом такое же количество краски. Найдите площадь многоугольника.
Решение
Если толщина слоя краски равна \( d \), то объём краски, затраченной на покраску сферы, равен разности объёмов двух шаров: шара радиуса \( R+d \) и шара радиуса \( R \), т. е. равен
\(
\frac{4}{3} \pi (R+d)^3 — \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi d (3R^2+3Rd+d^2).
\)
При покраске многоугольника площади \( S \) слоем толщины \( d \) объём затраченной краски равен \( Sd \), поскольку объём призмы равен произведению площади основания на высоту.
Приравнивая эти два объёма и сокращая на \( d \), находим \( S \):
\(
S = \frac{4}{3} \pi (3R^2+3Rd+d^2).
\)
Замечание
Если толщина \( d \) слоя краски очень мала по сравнению с радиусом \( R \) сферы, то величина \( S \) приблизительно равна
\(
\frac{4}{3} \pi \cdot 3R^2 = 4 \pi R^2.
\)
Основываясь на проведённых рассуждениях, естественно принять за площадь сферы величину \( 4 \pi R^2 \).
Сферу радиуса \( R \) покрасили слоем краски толщины \( d \). Таким же слоем краски закрасили многоугольник и потратили такое же количество краски; Найти: \( S_{\text{многоугольника}} = ? \);
Решение:
1) Если толщина слоя краски равна \( d \), то объем краски равен разности объемов шаров радиуса: \( R \) и \( R + d \);
\(
\frac{4}{3} \pi (R + d)^3 — \frac{4}{3} \pi R^3 = \pi d(3R^2 + 3Rd + d^2);
\)
2) При покраске многоугольника площади \( S \) объем потраченной краски равен \( S \cdot d \), а объем призмы равен произведению площади основания на высоту, значит:
\(
S \cdot d = \pi (3R^2 + 3Rd + d^2);
\)
Ответ: \( S = \frac{\pi (3R^2 + 3Rd + d^2)}{d} \).
Сферу радиуса \( R \) покрасили слоем краски толщины \( d \). Слоем такой же толщины покрасили многоугольник и затратили при этом такое же количество краски. Найдите площадь многоугольника.
Решение
1. Определим объём краски, затраченной на покраску сферы. Для этого найдем разность объёмов двух шаров: шара радиуса \( R+d \) и шара радиуса \( R \).
Объём шара радиуса \( R \) равен \(\frac{4}{3} \pi R^3\).
Объём шара радиуса \( R+d \) равен \(\frac{4}{3} \pi (R+d)^3\).
Разность объёмов, которая равна объёму краски, составляет:
\(
\frac{4}{3} \pi (R+d)^3 — \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi ((R+d)^3 — R^3)
\)
2. Раскроем кубический биномиальный разложение:
\((R+d)^3 = R^3 + 3R^2d + 3Rd^2 + d^3\)
Подставляя в формулу:
\(
\frac{4}{3} \pi (R^3 + 3R^2d + 3Rd^2 + d^3 — R^3) = \frac{4}{3} \pi (3R^2d + 3Rd^2 + d^3)
\)
3. Теперь рассмотрим покраску многоугольника.
Объём краски, затраченной на покраску многоугольника площади \( S \) слоем толщины \( d \), равен \( Sd \).
4. Приравнивая объёмы краски, затраченные на покраску сферы и многоугольника, получаем:
\(
Sd = \frac{4}{3} \pi (3R^2d + 3Rd^2 + d^3)
\)
5. Сократим обе стороны уравнения на \( d \) (предполагая, что \( d \neq 0 \)):
\(
S = \frac{4}{3} \pi (3R^2 + 3Rd + d^2)
\)
6. Если толщина \( d \) слоя краски очень мала по сравнению с радиусом \( R \) сферы, то можно считать, что \( d^2 \) и \( Rd \) малы, и тогда площадь \( S \) приближённо равна:
\(
S \approx 4 \pi R^2
\)
Таким образом, при малой толщине слоя краски площадь многоугольника приближается к площади поверхности сферы.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.