ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1225 Атанасян — Подробные Ответы

Сферу радиуса \( R \) покрасили слоем краски толщины \( d \). Слоем такой же толщины покрасили многоугольник и затратили при этом такое же количество краски. Найдите площадь многоугольника.

Решение

Если толщина слоя краски равна \( d \), то объём краски, затраченной на покраску сферы, равен разности объёмов двух шаров: шара радиуса \( R+d \) и шара радиуса \( R \), т. е. равен

\(
\frac{4}{3} \pi (R+d)^3 — \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi d (3R^2+3Rd+d^2).
\)

При покраске многоугольника площади \( S \) слоем толщины \( d \) объём затраченной краски равен \( Sd \), поскольку объём призмы равен произведению площади основания на высоту.

Приравнивая эти два объёма и сокращая на \( d \), находим \( S \):

\(
S = \frac{4}{3} \pi (3R^2+3Rd+d^2).
\)

Замечание

Если толщина \( d \) слоя краски очень мала по сравнению с радиусом \( R \) сферы, то величина \( S \) приблизительно равна

\(
\frac{4}{3} \pi \cdot 3R^2 = 4 \pi R^2.
\)

Основываясь на проведённых рассуждениях, естественно принять за площадь сферы величину \( 4 \pi R^2 \).

Сферу радиуса \( R \) покрасили слоем краски толщины \( d \). Таким же слоем краски закрасили многоугольник и потратили такое же количество краски; Найти: \( S_{\text{многоугольника}} = ? \);

Решение:
1) Если толщина слоя краски равна \( d \), то объем краски равен разности объемов шаров радиуса: \( R \) и \( R + d \);

\(
\frac{4}{3} \pi (R + d)^3 — \frac{4}{3} \pi R^3 = \pi d(3R^2 + 3Rd + d^2);
\)

2) При покраске многоугольника площади \( S \) объем потраченной краски равен \( S \cdot d \), а объем призмы равен произведению площади основания на высоту, значит:

\(
S \cdot d = \pi (3R^2 + 3Rd + d^2);
\)

Ответ: \( S = \frac{\pi (3R^2 + 3Rd + d^2)}{d} \).

Сферу радиуса \( R \) покрасили слоем краски толщины \( d \). Слоем такой же толщины покрасили многоугольник и затратили при этом такое же количество краски. Найдите площадь многоугольника.

Решение

1. Определим объём краски, затраченной на покраску сферы. Для этого найдем разность объёмов двух шаров: шара радиуса \( R+d \) и шара радиуса \( R \).

Объём шара радиуса \( R \) равен \(\frac{4}{3} \pi R^3\).

Объём шара радиуса \( R+d \) равен \(\frac{4}{3} \pi (R+d)^3\).

Разность объёмов, которая равна объёму краски, составляет:

\(
\frac{4}{3} \pi (R+d)^3 — \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi ((R+d)^3 — R^3)
\)

2. Раскроем кубический биномиальный разложение:

\((R+d)^3 = R^3 + 3R^2d + 3Rd^2 + d^3\)

Подставляя в формулу:

\(
\frac{4}{3} \pi (R^3 + 3R^2d + 3Rd^2 + d^3 — R^3) = \frac{4}{3} \pi (3R^2d + 3Rd^2 + d^3)
\)

3. Теперь рассмотрим покраску многоугольника.

Объём краски, затраченной на покраску многоугольника площади \( S \) слоем толщины \( d \), равен \( Sd \).

4. Приравнивая объёмы краски, затраченные на покраску сферы и многоугольника, получаем:

\(
Sd = \frac{4}{3} \pi (3R^2d + 3Rd^2 + d^3)
\)

5. Сократим обе стороны уравнения на \( d \) (предполагая, что \( d \neq 0 \)):

\(
S = \frac{4}{3} \pi (3R^2 + 3Rd + d^2)
\)

6. Если толщина \( d \) слоя краски очень мала по сравнению с радиусом \( R \) сферы, то можно считать, что \( d^2 \) и \( Rd \) малы, и тогда площадь \( S \) приближённо равна:

\(
S \approx 4 \pi R^2
\)

Таким образом, при малой толщине слоя краски площадь многоугольника приближается к площади поверхности сферы.