ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1222 Атанасян — Подробные Ответы

Площадь полной поверхности конуса равна 45π дм2. Развёртка боковой поверхности конуса представляет собой круговой сектор с дугой в 60°. Найдите объём конуса.

Дано: Конус; \(S = 45\pi \, \text{дм}^2\); \(\beta = 60^\circ\);
Найти: \(V\) — ?;

Решение:

1) Длина окружности: \(C = 2\pi r = \frac{60^\circ}{360^\circ} \cdot 2\pi l\), отсюда
\(l = 6r\);

2) Найдем площадь боковой поверхности:
\(S_{бок} = \frac{60^\circ}{360^\circ} \cdot \pi l^2 = \frac{\pi l^2}{6} = \frac{\pi (6r)^2}{6} = 6\pi r^2 \, \text{дм}^2\);

3) \(S = S_{осн} + S_{бок} = \pi r^2 + S_{бок} = \pi r^2 + 6\pi r^2 = 7\pi r^2 = 45\pi\), отсюда \(r^2 = \frac{45}{7}\);

4) Найдем площадь основания:
\(S_{осн} = \pi r^2 = \frac{45}{7} \pi \, \text{дм}^2\);

5) по теореме Пифагора:
\(h = \sqrt{l^2 — r^2} = \sqrt{(6r)^2 — r^2} = r\sqrt{35} = \sqrt{\frac{45}{7} \cdot 35} = 15 \, \text{дм}\);

6) \(V = \frac{1}{3} S_{осн} h = \frac{1}{3} \cdot \frac{45}{7} \pi \cdot 15 = \frac{225}{7} \pi \, \text{дм}^3\).

Ответ: \(V = \frac{225}{7} \pi \, \text{дм}^3\).

Дано: Конус; \(S = 45\pi \, \text{дм}^2\); \(\beta = 60^\circ\).
Найти: \(V\) — объем конуса.

Решение:

1) Найдем длину окружности основания конуса. Длина окружности \(C\) выражается как \(C = 2\pi r\). Учитывая угол \(\beta = 60^\circ\), длина окружности основания конуса будет:

\(
C = \frac{60^\circ}{360^\circ} \cdot 2\pi l \Rightarrow l = 6r
\)

где \(l\) — образующая конуса.

2) Найдем площадь боковой поверхности конуса \(S_{\text{бок}}\). Площадь боковой поверхности конуса выражается через образующую и радиус основания:

\(
S_{\text{бок}} = \frac{60^\circ}{360^\circ} \cdot \pi l^2 = \frac{\pi (6r)^2}{6} = 6\pi r^2 \, \text{дм}^2
\)

3) Общая площадь поверхности конуса \(S\) равна сумме площади основания \(S_{\text{осн}}\) и площади боковой поверхности \(S_{\text{бок}}\):

\(
S = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = \pi r^2 + 6\pi r^2 = 7\pi r^2
\)

По условию задачи, \(S = 45\pi\), отсюда:

\(
7\pi r^2 = 45\pi \Rightarrow r^2 = \frac{45}{7}
\)

4) Найдем площадь основания \(S_{\text{осн}}\):

\(
S_{\text{осн}} = \pi r^2 = \frac{45}{7} \pi \, \text{дм}^2
\)

5) Найдем высоту конуса \(h\) по теореме Пифагора, учитывая, что \(l = 6r\):

\(
h = \sqrt{l^2 — r^2} = \sqrt{(6r)^2 — r^2} = r\sqrt{35}
\)

Подставляем значение \(r^2 = \frac{45}{7}\):

\(
h = \sqrt{\frac{45}{7} \cdot 35} = 15 \, \text{дм}
\)

6) Найдем объем конуса \(V\) по формуле:

\(
V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} h = \frac{1}{3} \cdot \frac{45}{7} \pi \cdot 15 = \frac{225}{7} \pi \, \text{дм}^3
\)

Переведем дробь в смешанное число:

\(
\frac{225}{7} = 32\frac{1}{7}
\)

Следовательно, объем конуса:

\(
V = 32\frac{1}{7} \pi \, \text{дм}^3
\)

Ответ: \(V = 32\frac{1}{7} \pi \, \text{дм}^3\).