Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1215 Атанасян — Подробные Ответы
В цилиндр вписана правильная n-угольная призма (т. е. основания призмы вписаны в основания цилиндра). Найдите отношение объёмов призмы и цилиндра, если: а) n = 3; б) n = 4; в) n = 6; г) n = 8; д) n — произвольное натуральное число.
Дано: В цилиндр вписана правильная \( n \)-угольная призма. Найти: Отношение объемов призмы и цилиндра.
Формулы:
1. Площадь основания призмы:
\( S_{\text{осн. призмы}} = n \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \sin \frac{360^\circ}{n}\right) \)
2. Объем призмы:
\( V_{\text{призмы}} = \frac{n \cdot hr^2}{2} \cdot \sin \frac{360^\circ}{n} \)
3. Объем цилиндра:
\( V_{\text{цилиндра}} = \pi r^2 h \)
Решение:
a) \( n = 3 \);
\( \frac{V_n}{V_u} = \frac{3\sqrt{3}}{4\pi} \approx 0.413 \)
б) \( n = 4 \);
\( \frac{V_n}{V_u} = \frac{2}{\pi} \approx 0.636 \)
в) \( n = 6 \);
\( \frac{V_n}{V_u} = \frac{3\sqrt{3}}{2\pi} \approx 0.826 \)
г) \( n = 8 \);
\( \frac{V_n}{V_u} = \frac{2\sqrt{2}}{\pi} \approx 0.900 \)
д) Общее выражение:
\( \frac{V_n}{V_u} = \frac{n}{2\pi} \cdot \sin \frac{360^\circ}{n} \)
Ответы:
— а) \( \approx 0.413 \)
— б) \( \approx 0.636 \)
— в) \( \approx 0.826 \)
— г) \( \approx 0.900 \)
— д) \(\frac{n}{2\pi} \cdot \sin \frac{360^\circ}{n}\)
Дано: В цилиндр вписана правильная \( n \)-угольная призма; Найти: Отношение объемов призмы и цилиндра; Решение:
\( S_{\text{осн. призмы}} = n \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \sin \frac{360^\circ}{n}\right) \)
\( V_{\text{призмы}} = \frac{n \cdot r^2}{2} \cdot \sin \frac{360^\circ}{n} \cdot h = \frac{n \cdot hr^2}{2} \cdot \sin \frac{360^\circ}{n} \)
\( V_{\text{цилиндра}} = \pi r^2 h \)
a) \( n = 3 \);
\( V_n = \frac{3hr^2}{2} \cdot \sin 120^\circ = \frac{3\sqrt{3} \cdot hr^2}{4} \)
\( \frac{V_n}{V_u} = \frac{3\sqrt{3} \cdot hr^2}{4 \cdot \pi r^2 h} = \frac{3\sqrt{3}}{4\pi} \)
б) \( n = 4 \);
\( V_n = \frac{4hr^2}{2} \cdot \sin 90^\circ = 2hr^2 \)
\( \frac{V_n}{V_u} = \frac{2hr^2}{\pi r^2 h} = \frac{2}{\pi} \)
в) \( n = 6 \);
\( V_n = \frac{6hr^2}{2} \cdot \sin 60^\circ = \frac{3\sqrt{3} \cdot hr^2}{2} \)
\( \frac{V_n}{V_u} = \frac{3\sqrt{3} \cdot hr^2}{2 \cdot \pi r^2 h} = \frac{3\sqrt{3}}{2\pi} \)
г) \( n = 8 \);
\( V_n = \frac{8hr^2}{2} \cdot \sin 45^\circ = 2\sqrt{2} \cdot hr^2 \)
\( \frac{V_n}{V_u} = \frac{2\sqrt{2} \cdot hr^2}{\pi r^2 h} = \frac{2\sqrt{2}}{\pi} \)
д) \(\frac{V_n}{V_u} = \frac{n \cdot hr^2}{2} \cdot \sin \frac{360^\circ}{n} \div \pi r^2 h = \frac{n}{2\pi} \cdot \sin \frac{360^\circ}{n}\)
Ответ: а) \(\frac{3\sqrt{3}}{4\pi}\); б) \(\frac{2}{\pi}\); в) \(\frac{3\sqrt{3}}{2\pi}\); г) \(\frac{2\sqrt{2}}{\pi}\); д) \(\frac{n}{2\pi} \cdot \sin \frac{360^\circ}{n}\).
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.