ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1215 Атанасян — Подробные Ответы

В цилиндр вписана правильная n-угольная призма (т. е. основания призмы вписаны в основания цилиндра). Найдите отношение объёмов призмы и цилиндра, если: а) n = 3; б) n = 4; в) n = 6; г) n = 8; д) n — произвольное натуральное число.

Дано: В цилиндр вписана правильная \( n \)-угольная призма. Найти: Отношение объемов призмы и цилиндра.

Формулы:

1. Площадь основания призмы:
\( S_{\text{осн. призмы}} = n \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \sin \frac{360^\circ}{n}\right) \)

2. Объем призмы:
\( V_{\text{призмы}} = \frac{n \cdot hr^2}{2} \cdot \sin \frac{360^\circ}{n} \)

3. Объем цилиндра:
\( V_{\text{цилиндра}} = \pi r^2 h \)

Решение:

a) \( n = 3 \);
\( \frac{V_n}{V_u} = \frac{3\sqrt{3}}{4\pi} \approx 0.413 \)

б) \( n = 4 \);
\( \frac{V_n}{V_u} = \frac{2}{\pi} \approx 0.636 \)

в) \( n = 6 \);
\( \frac{V_n}{V_u} = \frac{3\sqrt{3}}{2\pi} \approx 0.826 \)

г) \( n = 8 \);
\( \frac{V_n}{V_u} = \frac{2\sqrt{2}}{\pi} \approx 0.900 \)

д) Общее выражение:
\( \frac{V_n}{V_u} = \frac{n}{2\pi} \cdot \sin \frac{360^\circ}{n} \)

Ответы:
— а) \( \approx 0.413 \)
— б) \( \approx 0.636 \)
— в) \( \approx 0.826 \)
— г) \( \approx 0.900 \)
— д) \(\frac{n}{2\pi} \cdot \sin \frac{360^\circ}{n}\)

Дано: В цилиндр вписана правильная \( n \)-угольная призма; Найти: Отношение объемов призмы и цилиндра; Решение:

\( S_{\text{осн. призмы}} = n \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \sin \frac{360^\circ}{n}\right) \)

\( V_{\text{призмы}} = \frac{n \cdot r^2}{2} \cdot \sin \frac{360^\circ}{n} \cdot h = \frac{n \cdot hr^2}{2} \cdot \sin \frac{360^\circ}{n} \)

\( V_{\text{цилиндра}} = \pi r^2 h \)

a) \( n = 3 \);

\( V_n = \frac{3hr^2}{2} \cdot \sin 120^\circ = \frac{3\sqrt{3} \cdot hr^2}{4} \)

\( \frac{V_n}{V_u} = \frac{3\sqrt{3} \cdot hr^2}{4 \cdot \pi r^2 h} = \frac{3\sqrt{3}}{4\pi} \)

б) \( n = 4 \);

\( V_n = \frac{4hr^2}{2} \cdot \sin 90^\circ = 2hr^2 \)

\( \frac{V_n}{V_u} = \frac{2hr^2}{\pi r^2 h} = \frac{2}{\pi} \)

в) \( n = 6 \);

\( V_n = \frac{6hr^2}{2} \cdot \sin 60^\circ = \frac{3\sqrt{3} \cdot hr^2}{2} \)

\( \frac{V_n}{V_u} = \frac{3\sqrt{3} \cdot hr^2}{2 \cdot \pi r^2 h} = \frac{3\sqrt{3}}{2\pi} \)

г) \( n = 8 \);

\( V_n = \frac{8hr^2}{2} \cdot \sin 45^\circ = 2\sqrt{2} \cdot hr^2 \)

\( \frac{V_n}{V_u} = \frac{2\sqrt{2} \cdot hr^2}{\pi r^2 h} = \frac{2\sqrt{2}}{\pi} \)

д) \(\frac{V_n}{V_u} = \frac{n \cdot hr^2}{2} \cdot \sin \frac{360^\circ}{n} \div \pi r^2 h = \frac{n}{2\pi} \cdot \sin \frac{360^\circ}{n}\)

Ответ: а) \(\frac{3\sqrt{3}}{4\pi}\); б) \(\frac{2}{\pi}\); в) \(\frac{3\sqrt{3}}{2\pi}\); г) \(\frac{2\sqrt{2}}{\pi}\); д) \(\frac{n}{2\pi} \cdot \sin \frac{360^\circ}{n}\).