ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1212 Атанасян — Подробные Ответы

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, если сторона её основания равна m, а плоский угол (т. е. угол грани) при вершине равен α.

Дано: правильная пирамида \(MABCD\), \(AB = m\), \(\angle AMC = \alpha\).

Найти: \(V\).

Решение:

1) Основание — квадрат, \(S_{\text{осн}} = m^2\). Высота пирамиды \(MO = H\).

2) Радиус описанной окружности \(R = \frac{AO}{\sqrt{2}}\), где \(AO = \frac{m}{\sqrt{2}}\).

3) Пирамида правильная: \(\triangle AMC\) равнобедренный, высота \(MO\) — биссектриса, \(\angle AMO = \frac{\alpha}{2}\).

4) В \(\triangle AMO: \tan \frac{\alpha}{2} = \frac{AO}{MO}\), откуда \(MO = \frac{m}{\sqrt{2} \tan \frac{\alpha}{2}}\).

5) Объем:
\(
V = \frac{1}{3} m^2 \cdot \frac{m}{\sqrt{2} \tan \frac{\alpha}{2}} = \frac{m^3}{2\sqrt{3}} \cot \frac{\alpha}{2}
\)

Ответ: \(\frac{m^3}{2\sqrt{3}} \cot \frac{\alpha}{2}\)

Дано:
\( MABCD \) — пр. пирамида;
\( AB = m \);
\( \angle AMC = \alpha \);

Найти:
\( V \, — \, ? \)

Решение:

1) \( V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot H \), где \( S_{\text{осн}} = AB^2 = m^2 \) (\( ABCD \) — квадрат, так как пирамида правильная); \( MO = H \) — высота;

2) Известно, что \( a_4 = R\sqrt{2} \), где \( a_4 = AB = m \), \( R = AO \) — радиус описанной окружности, значит \( m = AO\sqrt{2} \), откуда \( AO = \frac{m}{\sqrt{2}} \);

3) Так как пирамида правильная, то \( AM = MC = MB = MD \), значит \( \triangle AMC \) — равнобедренный и высота \( MO \) (\( MO \perp ABCD \Rightarrow MO \perp AC \)) является биссектрисой, тогда \( \angle AMO = \frac{\alpha}{2} \);

4) В \( \triangle AMO: AO = \frac{m}{\sqrt{2}} \), \( \angle AMO = \frac{\alpha}{2} \):

\(
\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{AO}{MO}, \, \text{откуда} \, MO = \frac{m}{\sqrt{2} \tan \frac{\alpha}{2}}
\)

5) \( V = \frac{1}{3} m^2 \cdot \frac{m}{\sqrt{2} \tan \frac{\alpha}{2}} = \frac{m^3}{2\sqrt{3} \tan \frac{\alpha}{2}} = \frac{m^3}{2\sqrt{3}} \cot \frac{\alpha}{2} \)

Ответ: \( \frac{m^3}{2\sqrt{3}} \cot \frac{\alpha}{2} \)