ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1206 Атанасян — Подробные Ответы

Докажите, что площадь боковой поверхности правильной пирамиды (т. е. сумма площадей её боковых граней) равна половине произведения периметра основания на апофему.

Доказать: площадь боковой поверхности правильной пирамиды, то есть сумма площадей ее боковых граней равна половине произведения периметра основания на апофему.

Доказательство:
1) Пусть \(h\) — апофема, \(a\) — сторона основания правильной пирамиды. Известно, что у правильной пирамиды все апофемы (высоты боковых граней) равны, причем площадь каждой грани — это площадь треугольника, равная \(\frac{1}{2}ah\), значит:
\(S_{бок} = \frac{1}{2}(a_1 + a_2 + \dots + a_n)h = \frac{1}{2}Ph\)

2) \(S_{бок} = \frac{1}{2}Ph\), где \(P\) — периметр основания пирамиды, \(h\) — апофема, что и требовалось доказать.

Доказательство площади боковой поверхности правильной пирамиды представим в максимально детализированном виде с соблюдением всех требований к оформлению математических выражений.

1. Определим исходные параметры:
— Правильная пирамида имеет в основании правильный \(n\)-угольник со стороной \(a\).
— Все боковые грани такой пирамиды являются равными равнобедренными треугольниками.
— Апофема \(h\) — это высота боковой грани, проведенная из вершины пирамиды к середине стороны основания. Для правильной пирамиды все апофемы равны по длине.

2. Вычислим площадь одной боковой грани:
Каждая боковая грань представляет собой треугольник с основанием \(a\) и высотой \(h\). Площадь такого треугольника вычисляется по формуле:
\(S_{грань} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\)

3. Найдем сумму площадей всех боковых граней:
Так как у пирамиды ровно \(n\) боковых граней, общая площадь боковой поверхности будет:
\(S_{бок} = n \cdot S_{грань} = n \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (n \cdot a) \cdot h\)

4. Выразим периметр основания:
Периметр \(P\) правильного \(n\)-угольника равен:
\(P = n \cdot a\)

5. Подставим периметр в формулу площади боковой поверхности:
\(S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot P \cdot h\)

6. Полученный результат доказывает утверждение:
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды действительно равна половине произведения периметра основания на апофему, что и требовалось доказать.

Дополнительные пояснения:
— В случае треугольной пирамиды (\(n = 3\)) формула принимает вид:
\(S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 3a \cdot h = 1\frac{1}{2}ah\)
— Для четырехугольной пирамиды (\(n = 4\)):
\(S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 4a \cdot h = 2ah\)
— Все вычисления сохраняют свою справедливость для любого натурального \(n \geq 3\).