ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1201 Атанасян — Подробные Ответы

Существует ли тетраэдр, у которого пять углов граней — прямые?

Существует ли тетраэдр, у которого пять углов граней прямые? Тетраэдр — это треугольная пирамида, у которой 4 грани (основание и три боковые). Следовательно, при наличии 5 прямых углов, по крайней мере, одна из граней имела бы 2 прямых угла, что невозможно. Ответ: нет.

Рассмотрим задачу о существовании тетраэдра с пятью прямыми углами на гранях. Тетраэдр — это многогранник с четырьмя треугольными гранями. Каждая грань имеет три угла, поэтому всего у тетраэдра 12 плоских углов (по 3 на каждой из 4 граней).

Предположим, что пять из этих углов прямые (равны 90°). Тогда по принципу Дирихле (при распределении 5 углов по 4 граням) хотя бы одна грань должна содержать два прямых угла. Однако треугольник не может иметь два прямых угла, так как сумма углов треугольника равна 180°, и если два угла по 90°, то третий угол будет 0°, что невозможно для невырожденного треугольника.

Максимальное количество прямых углов в тетраэдре — четыре. Пример: прямоугольный тетраэдр, образованный вершиной и тремя точками на осях координат (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1). В таком тетраэдре ровно четыре прямых угла. Добавление пятого прямого угла приводит к противоречию с геометрическими свойствами треугольных граней.

Таким образом, тетраэдра с пятью прямыми углами на гранях не существует. Это следует из комбинаторного распределения углов по граням и элементарных свойств треугольников. Ответ: нет, такой тетраэдр невозможен.