ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1191 Атанасян — Подробные Ответы

Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью, проходящей через точки B1, D1 и середину ребра CD. Докажите, что построенное сечение — трапеция.

Дано:
— ABCDA1B1C1D1 — параллелепипед
— M — середина CD

Построение:
1) Построим прямую, параллельную B1D1, проходящую через точку M.
2) На пересечении этой прямой с ребром BC отметим точку E.
3) Соединим точки B1, D1, M и E.

Доказательство:
1) EM ⊂ ABC, B1D1 ⊂ A1B1D1 ∥ ABC, так как ABCDA1B1C1D1 — параллелепипед, следовательно EM ∥ B1D1.
2) B1E ⊂ BCC1, D1M ⊂ DCC1 и BCC1 ≠ DCC1, следовательно B1E ∥ D1M.
3) EM ∥ B1D1 и B1E ∥ D1M, следовательно B1D1EM — трапеция (по определению трапеции).

Таким образом, доказано, что сечение B1D1EM является трапецией.

Для решения данной задачи выполним следующие действия:

1. Построим параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁.
2. Найдем середину ребра CD и обозначим ее как точку M.
3. Построим прямую, параллельную отрезку B₁D₁, проходящую через точку M.
4. На пересечении этой прямой с ребром BC отметим точку E.
5. Соединим точки B₁, D₁, M и E.

Докажем, что построенное сечение B₁D₁EM является трапецией.

Доказательство:
1. Так как ABCDA₁B₁C₁D₁ — параллелепипед, то EM ⊂ ABC и B₁D₁ ⊂ A₁B₁D₁ являются параллельными, следовательно, EM ∥ B₁D₁.
2. Отрезок B₁E ⊂ BCC₁, а отрезок D₁M ⊂ DCC₁, при этом BCC₁ ≠ DCC₁, следовательно, B₁E ∥ D₁M.
3. Так как EM ∥ B₁D₁ и B₁E ∥ D₁M, то четырехугольник B₁D₁EM является трапецией (по определению трапеции).

Таким образом, мы доказали, что построенное сечение параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через точки B₁, D₁ и середину ребра CD, является трапецией.

Таким образом, мы построили сечение параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через точки B₁, D₁ и середину ребра CD, и доказали, что это сечение является трапецией.