ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1188 Атанасян — Подробные Ответы

На трёх рёбрах параллелепипеда даны точки А, В и С. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через эти точки.

Решение
При построении сечений параллелепипеда нужно руководствоваться следующим правилом (оно будет обосновано в курсе стереометрии в 10 классе): отрезки, по которым секущая плоскость пересекает две противоположные грани параллелепипеда, параллельны.

1) Рассмотрим сначала случай расположения точек А, В и С, изображённый на рисунке 355, а. Проведём отрезки АВ и ВС.

Далее, руководствуясь указанным правилом, через точку А проведём в плоскости передней грани прямую, параллельную ВС, а через точку С в плоскости боковой грани проведём прямую, параллельную АВ. Пересечения этих прямых с рёбрами нижней грани дают точки Е и D (рис. 355, б). Остаётся провести отрезок DE, и искомое сечение — пятиугольник ABCDE — построено.

2) Обратимся теперь к случаю, представленному на рисунке 356, а. Этот случай более трудный, чем предыдущий. Можно провести отрезки АВ и ВС (см. рис. 356, а), но что делать дальше? Поступим так. Сначала построим прямую, по которой секущая плоскость пересекается с плоскостью нижнего основания параллелепипеда. С этой целью продолжим отрезок АВ и нижнее ребро, лежащее в той же грани, что и отрезок АВ, до пересечения в точке М (рис. 356, б). Далее, через точку М проведём в плоскости нижнего основания прямую, параллельную ВС. Это и есть та прямая, по которой секущая плоскость пересекается с плоскостью нижнего основания. Эта прямая пересекается с рёбрами нижнего основания в точках Е и F. Затем через точку Е проведём прямую, параллельную прямой АВ, и получим точку D. Наконец, проведём отрезки AF и CD, и искомое сечение — шестиугольник ABCDEF — построено.

Решение:

1) Рассмотрим случай, когда точки А, В и С расположены, как показано на рисунке 355, а. Проведем отрезки АВ и ВС.
2) Согласно правилу, отрезки, по которым секущая плоскость пересекает две противоположные грани параллелепипеда, параллельны. Поэтому через точку А проведем прямую, параллельную ВС, а через точку С — прямую, параллельную АВ. Пересечения этих прямых с ребрами нижней грани дают точки Е и D.
3) Соединив точки ABCDE, получаем искомое сечение — пятиугольник.

Второй случай представлен на рисунке 356, а.

1) Сначала продолжим отрезок АВ и ребро, лежащее в той же грани, до пересечения в точке М.
2) Через точку М проведем в плоскости нижнего основания прямую, параллельную ВС. Эта прямая пересекает ребра нижней грани в точках Е и F.
3) Через точку Е проведем прямую, параллельную АВ, и получим точку D.
4) Соединив точки ABCDEF, получаем искомое сечение — шестиугольник.

Таким образом, в зависимости от расположения точек А, В и С, сечение параллелепипеда может быть пятиугольником или шестиугольником.

Решение:

При построении сечений параллелепипеда необходимо руководствоваться следующим правилом: отрезки, по которым секущая плоскость пересекает две противоположные грани параллелепипеда, параллельны.

Рассмотрим два случая расположения точек А, В и С на рёбрах параллелепипеда.

Случай 1 (рис. 355, а):
1) Проведём отрезки АВ и ВС.
2) Согласно правилу, через точку А проведём в плоскости передней грани прямую, параллельную ВС, а через точку С в плоскости боковой грани проведём прямую, параллельную АВ.
3) Пересечения этих прямых с рёбрами нижней грани дают точки Е и D (рис. 355, б).
4) Соединив точки ABCDE, получаем искомое сечение — пятиугольник.

Случай 2 (рис. 356, а):
1) Проведём отрезки АВ и ВС.
2) Сначала построим прямую, по которой секущая плоскость пересекается с плоскостью нижнего основания параллелепипеда. Для этого продолжим отрезок АВ и нижнее ребро, лежащее в той же грани, до пересечения в точке М (рис. 356, б).
3) Через точку М проведём в плоскости нижнего основания прямую, параллельную ВС. Эта прямая пересекает ребра нижней грани в точках Е и F.
4) Через точку Е проведём прямую, параллельную АВ, и получим точку D.
5) Соединив точки ABCDEF, получаем искомое сечение — шестиугольник.

Таким образом, в зависимости от расположения точек А, В и С, сечение параллелепипеда может быть пятиугольником или шестиугольником.