ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1186 Атанасян — Подробные Ответы

Докажите, что площадь боковой поверхности прямой призмы (т. е. сумма площадей её боковых граней) равна произведению
периметра основания на боковое ребро.

Доказательство:

1) У прямой призмы боковые ребра перпендикулярны ее основаниям, значит, любое боковое ребро можно принять за высоту призмы.

2) Пусть H — высота призмы, а1, а2, а3, …, аn — стороны оснований.

3) Каждая боковая грань прямой призмы — прямоугольник. Следовательно, боковая поверхность состоит из n прямоугольников, то есть:

\(S_{\text{бок}} = a_1 \cdot H + a_2 \cdot H + a_3 \cdot H + … + a_n \cdot H =\)
\(= (a_1 + a_2 + a_3 + … + a_n) \cdot H\)

где a1 + a2 + a3 + … + an = P основания.

4) Значит, \(S_{\text{бок}} = P_{\text{осн}} \cdot H\), что и требовалось доказать.

Доказательство:

Рассмотрим прямую призму с n-угольным основанием. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей её боковых граней.

Пусть:
— H — высота призмы
— a1, a2, a3, …, an — длины сторон основания призмы
— Pосн = a1 + a2 + a3 + … + an — периметр основания

Каждая боковая грань призмы является прямоугольником, высота которого равна H, а основание равно соответствующей стороне основания призмы.

Следовательно, площадь i-ой боковой грани равна:
\(S_i = a_i \cdot H\)

Тогда площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей всех боковых граней:

\(S_{\text{бок}} = \sum_{i=1}^n S_i = \sum_{i=1}^n a_i \cdot H = H \cdot \sum_{i=1}^n a_i = H \cdot P_{\text{осн}}\)

Таким образом, доказано, что площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту (боковое ребро) призмы.