ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1175 Атанасян — Подробные Ответы

Даны прямая a и точки M и N, лежащие по одну сторону от неё. Докажите, что на прямой а существует единственная
точка X, такая, что сумма расстояний MX + XN имеет наименьшее значение.

Дано: а, М и N лежат по одну сторону от прямой а;
Доказать: существует единственная точка Х Є а такая, что MX + XN — имеет наименьшее значение;

Доказательство:
1) Пусть N1 симметрична И относительно прямой а. Так как отрезки XN и XN1 симметричны относительно прямой a, XN = XN1. Тогда MX + XN = MX + XN1;
2) Если точка Х не лежит на прямой MN1, то MX + XN1 > MN1, а если точка Х лежит на прямой MN1 (а значит и на отрезке MN1), то
MX + XN= MN1. Следовательно, сумма MX + XN1, а значит и равная ей MX + XN принимают наименьшее значение, только если точка Х является точкой пересечения а и MN1, что и требовалось доказать.

Дано: прямая а и точки М и N, лежащие по одну сторону от нее.

Доказательство:

1) Пусть N₁ — точка, симметричная N относительно прямой а. Тогда отрезки XN и XN₁ симметричны относительно прямой а, следовательно, XN = XN₁.
Таким образом, MX + XN = MX + XN₁.

2) Если точка X не лежит на прямой MN₁, то MX + XN₁ > MN₁. Если же точка X лежит на прямой MN₁ (а значит, и на отрезке MN₁), то MX + XN = MN₁.

Следовательно, сумма MX + XN₁, а значит, и равная ей сумма MX + XN, принимают наименьшее значение, только если точка X является точкой пересечения прямой а и прямой MN₁.

Таким образом, доказано, что на прямой а существует единственная точка X, такая, что сумма расстояний MX + XN имеет наименьшее значение. Эта точка X является точкой пересечения прямой а и прямой MN₁.