ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1173 Атанасян — Подробные Ответы

При данном движении каждая из вершин треугольника ABC отображается на себя. Докажите, что любая точка плоскости
отображается на себя.

Дано: ΔАВС; А → А; В → В; С → С;
Доказать: Любая точка плоскости АВС отображается на себя.

Доказательство:
1) Отметим на плоскости некоторую точку D. Пусть точка D не переходит в Di, тогда ΔABD ≠ ΔAB**D**.
2) Известно, что при движении треугольник отражается на равный ему треугольник, отсюда получим противоречие. Значит, любая точка данной плоскости отображается на себя, что и требовалось доказать.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник \( \Delta ABC \) с вершинами \( A, B, C \). По условию, каждая из вершин отображается на себя: \( A \to A \), \( B \to B \), \( C \to C \).

2. Пусть \( D \) — произвольная точка на плоскости, не совпадающая с вершинами треугольника. Предположим, что точка \( D \) отображается в другую точку \( D’ \), которая не равна \( D \). Таким образом, \( D \to D’ \).

3. Рассмотрим треугольник \( \Delta ABD \) и его изображение \( \Delta AB’D’ \) при данном движении. Поскольку \( A \) и \( B \) отображаются на себя, то \( A \) и \( B \) остаются фиксированными.

4. Поскольку \( D \) не отображается на себя, то треугольник \( \Delta ABD \) не равен треугольнику \( \Delta AB’D’ \) (то есть \( \Delta ABD \neq \Delta AB’D’ \)). Это означает, что при движении треугольник \( \Delta ABC \) отображается на равный ему треугольник, что противоречит нашему предположению.

5. Следовательно, из предположения о том, что \( D \) отображается в \( D’ \), следует, что \( D \) должно отображаться на себя, то есть \( D \to D \).

6. Таким образом, мы приходим к выводу, что любая точка плоскости \( ABC \) отображается на себя.

Это завершает доказательство. Любая точка плоскости действительно отображается на себя, что и требовалось доказать.