ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1140 Атанасян — Подробные Ответы

В правильный многоугольник вписана окружность. Докажите, что отношение площади круга, ограниченного этой окружностью, к площади многоугольника равно отношению длины окружности к периметру многоугольника.

Дано:

\( A_1A_2 \ldots A_n \) — правильный многоугольник; окружность \(\text{Окр}(O; r)\) — вписана в многоугольник.

Доказать:

\(\frac{S_{\text{кр}}}{S_n} = \frac{C}{P_n}\)

Доказательство:

1. Выразим площадь круга и длину окружности:
\(
S_{\text{кр}} = \pi r^2 \quad \text{и} \quad C = 2\pi r
\)

2. Площадь правильного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности:
\(
S_n = \frac{1}{2} P_n \cdot r
\)

3. Тогда:
\(
\frac{S_{\text{кр}}}{S_n} = \frac{\pi r^2}{\frac{1}{2} P_n \cdot r} = \frac{2\pi r}{P_n} = \frac{C}{P_n}
\)

Что и требовалось доказать.

Дано:

\( A_1A_2 \ldots A_n \) — правильный многоугольник; окружность \(\text{Окр}(O; r)\) — вписана в многоугольник.

Необходимо доказать:

\(\frac{S_{\text{кр}}}{S_n} = \frac{C}{P_n}\)

Решение:

1. Выразим площадь круга и длину окружности. Площадь круга равна \( S_{\text{кр}} = \pi r^2 \). Длина окружности равна \( C = 2\pi r \).

2. Площадь правильного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности. Таким образом, площадь многоугольника выражается формулой:
\(
S_n = \frac{1}{2} P_n \cdot r
\)
где \( P_n \) — периметр многоугольника.

3. Найдем отношение площадей круга и многоугольника:
\(
\frac{S_{\text{кр}}}{S_n} = \frac{\pi r^2}{\frac{1}{2} P_n \cdot r}
\)

4. Упростим дробь:
\(
\frac{S_{\text{кр}}}{S_n} = \frac{2\pi r^2}{P_n \cdot r} = \frac{2\pi r}{P_n}
\)

5. Заметим, что \(\frac{2\pi r}{P_n}\) — это отношение длины окружности к периметру многоугольника:
\(
\frac{2\pi r}{P_n} = \frac{C}{P_n}
\)

Таким образом, мы доказали, что \(\frac{S_{\text{кр}}}{S_n} = \frac{C}{P_n}\), что и требовалось показать.