ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1134 Атанасян — Подробные Ответы

Диагонали A1A4 и А2A7 правильного десятиугольника A1A2…A10, вписанного в окружность радиуса R, пересекаются в точке B (рис. 319). Докажите, что: а) А2A7 = 2R; б) треугольник А1A2В и треугольник BA4O — подобные равнобедренные треугольники; в) А1A4 − А1A2 = R.

Конечно, вот извлечённое решение с сохранением оформления дробей и формул:

Дано: \(A_1A_2 \ldots A_{10}\) — правильный 10-угольник; \(A_1A_4 \cap A_2A_7 = B\).

Доказать:
a) \(A_2A_7 = 2r\);
б) \(\triangle A_1A_2B \sim \triangle A_4B0\);
в) \(A_1A_4 — A_1A_2 = r\).

Доказательство:

a) Рассмотрим \(\angle A_2O A_7\) — центральный, тогда \(\angle A_2O A_7 = \angle A_2A_4A_7 = 180^\circ\), значит \(A_2A_7\) — диаметр, то есть \(A_2A_7 = 2r\), что и требовалось доказать.

б) Так как правильный многоугольник вписан в окружность, то каждая дуга равна:
\( A_1A_2 = A_2A_3 = \ldots = A_9A_{10} = \frac{360^\circ}{10} = 36^\circ \)

Рассмотрим \(\triangle A_1A_2B\) и \(\triangle A_4B0\):
\(
\angle A_1A_2B = \angle A_4B0, \quad \angle A_1 = \frac{1}{2} \angle A_2A_4 = 36^\circ
\)

\(
\angle A_2 = \frac{1}{2} \angle A_1A_7 = 72^\circ, \quad \angle B = \frac{1}{2} \angle A_2A_4 = 72^\circ \Rightarrow \angle A_2 = \angle B
\)

Следовательно, \(\triangle A_1A_2B \sim \triangle A_4B0\) (по двум углам), что и требовалось доказать.

в) \(\triangle A_1A_2B\) — равнобедренный (так как \(\angle A_2 = \angle B\)), значит \(A_1A_2 = A_1B\); \(\triangle A_4B0\) — равнобедренный (так как \(\angle B = \angle A_2\)), значит \(BA_4 = A_40\);

\(
A_1A_4 — A_1A_2 = A_1A_4 — A_1B = BA_4 = A_40 = r
\)

Что и требовалось доказать.

Конечно, вот полное решение задачи с подробным объяснением:

Дано: \(A_1A_2 \ldots A_{10}\) — правильный 10-угольник; \(A_1A_4 \cap A_2A_7 = B\).

Доказать:
a) \(A_2A_7 = 2r\);
б) \(\triangle A_1A_2B \sim \triangle A_4B0\);
в) \(A_1A_4 — A_1A_2 = r\).

Решение:

a) Рассмотрим угол \(\angle A_2OA_7\). Этот угол является центральным и равен \(180^\circ\), так как \(A_2\) и \(A_7\) находятся на противоположных концах диаметра. Следовательно, \(A_2A_7\) является диаметром окружности, описанной вокруг многоугольника. Поэтому \(A_2A_7 = 2r\), где \(r\) — радиус окружности. Это и требовалось доказать.

б) Поскольку правильный многоугольник вписан в окружность, каждая дуга равна \(\frac{360^\circ}{10} = 36^\circ\).

Рассмотрим треугольники \(\triangle A_1A_2B\) и \(\triangle A_4B0\):

\(\angle A_1A_2B = \angle A_4B0\), так как они опираются на одну и ту же дугу \(A_2A_4\).
\(\angle A_1 = \frac{1}{2} \times 36^\circ = 18^\circ\).
\(\angle A_2 = \frac{1}{2} \times 72^\circ = 36^\circ\).
\(\angle B = \frac{1}{2} \times 72^\circ = 36^\circ\).

Так как \(\angle A_2 = \angle B\), то \(\triangle A_1A_2B \sim \triangle A_4B0\) по двум углам. Это и требовалось доказать.

в) Треугольник \(\triangle A_1A_2B\) равнобедренный, так как \(\angle A_2 = \angle B\), следовательно, \(A_1A_2 = A_1B\).
Треугольник \(\triangle A_4B0\) также равнобедренный, так как \(\angle B = \angle A_2\), следовательно, \(BA_4 = A_40\).

Поэтому \(A_1A_4 — A_1A_2 = A_1A_4 — A_1B = BA_4 = A_40 = r\). Это и требовалось доказать.