Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1133 Атанасян — Подробные Ответы
Диагонали А1А6 и A2A9 правильного двенадцатиугольника пересекаются в точке B (рис. 318). Докажите, что: а) треугольники A1A2B и A6A9B равносторонние; б) А1А6 = 2r, где r — радиус вписанной в двенадцатиугольник окружности.
Дано: \(A_1A_2 \ldots A_{12}\) — правильный 12-угольник; \(A_1A_6 \cap A_2A_9 = B\).
Доказать:
а) \(\triangle A_1A_2B\) и \(\triangle A_6A_9B\) — правильные;
б) \(A_1A_6 = 2r\).
Доказательство:
а) Так как правильный многоугольник вписан в окружность, то каждая дуга равна:
\( A_1A_2 = A_2A_3 = \ldots = A_{11}A_{12} = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ \)
\(
\angle A_2A_1B = \frac{1}{2} \angle A_2A_4A_6 = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ
\)
\(
\angle A_1A_2B = \frac{1}{2} \angle A_1A_{11}A_9 = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ
\)
\(
\angle A_9A_6B = \frac{1}{2} \angle A_2A_4A_6 = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ
\)
\(
\angle A_6A_9B = \frac{1}{2} \angle A_1A_{11}A_9 = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ
\)
Так как сумма углов в треугольнике 180°:
\(\angle A_1BA_2 = \angle A_6BA_9 = 60^\circ\), следовательно, \(\triangle A_1A_2B\) и \(\triangle A_6A_9B\) — правильные, что и требовалось доказать.
б) \(\angle A_1A_6A_9\) — вписанный, \(\angle A_1A_6A_9 = \frac{1}{2} \angle A_1A_{10}A_7 = 90^\circ\), следовательно, \(A_6A_1 \perp A_1A_{12}\) и \(OH_2 \perp A_1A_{12}\); \(OH_2 \parallel A_1A_6\).
Так же и \(\angle A_1A_{12}A_6 = 90^\circ\), \(A_1A_6 \perp A_6A_9\) и \(OH_1 \perp A_6A_9\); \(OH_1 \parallel A_1A_6\).
Получаем, что \(A_1A_6H_1H_2\) — прямоугольник, отсюда \(A_1A_6 = H_1H_2 = 2r\), что и требовалось доказать.
Дано: \(A_1A_2 \ldots A_{12}\) — правильный 12-угольник; \(A_1A_6 \cap A_2A_9 = B\).
Доказать:
а) \(\triangle A_1A_2B\) и \(\triangle A_6A_9B\) — правильные;
б) \(A_1A_6 = 2r\).
Решение:
а) Так как правильный многоугольник вписан в окружность, то каждая дуга равна:
\( A_1A_2 = A_2A_3 = \ldots = A_{11}A_{12} = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ \)
Углы при вершинах треугольников можно найти как половину соответствующих центральных углов:
\(
\angle A_2A_1B = \frac{1}{2} \times 120^\circ = 60^\circ
\)
\(
\angle A_1A_2B = \frac{1}{2} \times 120^\circ = 60^\circ
\)
\(
\angle A_9A_6B = \frac{1}{2} \times 120^\circ = 60^\circ
\)
\(
\angle A_6A_9B = \frac{1}{2} \times 120^\circ = 60^\circ
\)
Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, то:
\(
\angle A_1BA_2 = 180^\circ — (\angle A_2A_1B + \angle A_1A_2B) = 180^\circ — 120^\circ = 60^\circ
\)
\(
\angle A_6BA_9 = 180^\circ — (\angle A_9A_6B + \angle A_6A_9B) = 180^\circ — 120^\circ = 60^\circ
\)
Следовательно, \(\triangle A_1A_2B\) и \(\triangle A_6A_9B\) — правильные треугольники, так как все углы равны \(60^\circ\), что и требовалось доказать.
б) Угол \(\angle A_1A_6A_9\) — вписанный, он равен половине центрального угла \(\angle A_1A_{10}A_7\), который равен \(180^\circ\), следовательно:
\(
\angle A_1A_6A_9 = \frac{1}{2} \times 180^\circ = 90^\circ
\)
Таким образом, \(A_1A_6\) является диаметром окружности, описанной около прямоугольного треугольника \(A_1A_6A_9\). Поскольку радиус окружности равен \(r\), то диаметр равен \(2r\).
Следовательно, \(A_1A_6 = 2r\), что и требовалось доказать.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.