Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1132 Атанасян — Подробные Ответы
Найдите отношение периметров правильного треугольника и квадрата: а) вписанных в одну и ту же окружность; б) описанных около одной и той же окружности.
а) Дано:
— \(\triangle ABC\) — правильный;
— \(MNEF\) — квадрат;
— \(P_3 = P_{ABC}\);
— \(P_4 = P_{MNEF}\).
Найти: \(\frac{P_3}{P_4}\).
Решение:
1) Для стороны треугольника \(a_3\):
\(
a_3 = 2R \cdot \sin\left(\frac{180^\circ}{3}\right) = 2R \cdot \sin 60^\circ = 2R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = R\sqrt{3}
\)
2) Периметр треугольника \(P_3\):
\(
P_3 = a_3 \cdot 3 = 3\sqrt{3}R
\)
3) Для стороны квадрата \(a_4\):
\(
a_4 = 2R \cdot \sin\left(\frac{180^\circ}{4}\right) = 2R \cdot \sin 45^\circ = 2R \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = R\sqrt{2}
\)
4) Периметр квадрата \(P_4\):
\(
P_4 = a_4 \cdot 4 = 4\sqrt{2}R
\)
5) Выражаем отношение периметров:
\(
\frac{P_3}{P_4} = \frac{3\sqrt{3}R}{4\sqrt{2}R} = \frac{3\sqrt{3}}{4\sqrt{2}}
\)
6) Упрощаем дробь:
\(
\frac{3\sqrt{3}}{4\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{6}}{8}
\)
Ответ:
\(
\frac{P_3}{P_4} = \frac{3\sqrt{6}}{8}
\)
б) Дано:
— \(\triangle ABC\) — правильный;
— \(MNEF\) — квадрат;
— \(P_3 = P_{ABC}\);
— \(P_4 = P_{MNEF}\).
Найти: \(\frac{P_3}{P_4}\).
Решение:
1) Для стороны треугольника \(a_3\):
\(
a_3 = 2R \cdot \sin\left(\frac{180^\circ}{3}\right) = 2R \cdot \sin 60^\circ = 2R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = R\sqrt{3}
\)
2) Для стороны квадрата \(a_4\):
\(
a_4 = 2R \cdot \sin\left(\frac{180^\circ}{4}\right) = 2R \cdot \sin 45^\circ = 2R \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = R\sqrt{2}
\)
3) Радиус вписанной окружности \(r\):
\(
r = R \cdot \cos\left(\frac{180^\circ}{3}\right) = R \cdot \cos 60^\circ = \frac{R}{2} \Rightarrow R = 2r
\)
4) Радиус вписанной окружности для квадрата:
\(
r = R \cdot \cos\left(\frac{180^\circ}{4}\right) = R \cdot \cos 45^\circ = \frac{R\sqrt{2}}{2} \Rightarrow R = \frac{2r}{\sqrt{2}}
\)
5) Периметр треугольника \(P_3\):
\(
P_3 = a_3 \cdot 3 = 3\sqrt{3}R = 6\sqrt{3}r
\)
6) Периметр квадрата \(P_4\):
\(
P_4 = a_4 \cdot 4 = 4\sqrt{2}R = \frac{2r\sqrt{2} \cdot 4}{\sqrt{2}} = 8r
\)
7) Выражаем отношение периметров:
\(
\frac{P_3}{P_4} = \frac{6\sqrt{3}r}{8r} = \frac{3\sqrt{3}}{4}
\)
Ответ:
\(
\frac{P_3}{P_4} = \frac{3\sqrt{3}}{4}
\)
Решение а:
1) Для стороны треугольника \(a_3\):
\(
a_3 = 2R \cdot \sin\left(\frac{180^\circ}{3}\right) = 2R \cdot \sin 60^\circ = 2R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = R\sqrt{3}
\)
2) Периметр треугольника \(P_3\):
\(
P_3 = a_3 \cdot 3 = 3\sqrt{3}R
\)
3) Для стороны квадрата \(a_4\):
\(
a_4 = 2R \cdot \sin\left(\frac{180^\circ}{4}\right) = 2R \cdot \sin 45^\circ = 2R \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = R\sqrt{2}
\)
4) Периметр квадрата \(P_4\):
\(
P_4 = a_4 \cdot 4 = 4\sqrt{2}R
\)
5) Выражаем отношение периметров:
\(
\frac{P_3}{P_4} = \frac{3\sqrt{3}R}{4\sqrt{2}R} = \frac{3\sqrt{3}}{4\sqrt{2}}
\)
6) Упрощаем дробь:
\(
\frac{3\sqrt{3}}{4\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{6}}{8}
\)
Ответ:
\(
\frac{P_3}{P_4} \approx 0.612
\)
Решение б:
1) Для стороны треугольника \(a_3\):
\(
a_3 = 2R \cdot \sin\left(\frac{180^\circ}{3}\right) = 2R \cdot \sin 60^\circ = 2R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = R\sqrt{3}
\)
2) Для стороны квадрата \(a_4\):
\(
a_4 = 2R \cdot \sin\left(\frac{180^\circ}{4}\right) = 2R \cdot \sin 45^\circ = 2R \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = R\sqrt{2}
\)
3) Радиус вписанной окружности \(r\):
\(
r = R \cdot \cos\left(\frac{180^\circ}{3}\right) = R \cdot \cos 60^\circ = \frac{R}{2} \Rightarrow R = 2r
\)
4) Радиус вписанной окружности для квадрата:
\(
r = R \cdot \cos\left(\frac{180^\circ}{4}\right) = R \cdot \cos 45^\circ = \frac{R\sqrt{2}}{2} \Rightarrow R = \frac{2r}{\sqrt{2}}
\)
5) Периметр треугольника \(P_3\):
\(
P_3 = a_3 \cdot 3 = 3\sqrt{3}R = 6\sqrt{3}r
\)
6) Периметр квадрата \(P_4\):
\(
P_4 = a_4 \cdot 4 = 4\sqrt{2}R = \frac{2r\sqrt{2} \cdot 4}{\sqrt{2}} = 8r
\)
7) Выражаем отношение периметров:
\(
\frac{P_3}{P_4} = \frac{6\sqrt{3}r}{8r} = \frac{3\sqrt{3}}{4}
\)
Ответ:
\(
\frac{P_3}{P_4} \approx 1.299
\)
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.