ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1132 Атанасян — Подробные Ответы

Найдите отношение периметров правильного треугольника и квадрата: а) вписанных в одну и ту же окружность; б) описанных около одной и той же окружности.

а) Дано:

— \(\triangle ABC\) — правильный;
— \(MNEF\) — квадрат;
— \(P_3 = P_{ABC}\);
— \(P_4 = P_{MNEF}\).

Найти: \(\frac{P_3}{P_4}\).

Решение:

1) Для стороны треугольника \(a_3\):
\(
a_3 = 2R \cdot \sin\left(\frac{180^\circ}{3}\right) = 2R \cdot \sin 60^\circ = 2R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = R\sqrt{3}
\)

2) Периметр треугольника \(P_3\):
\(
P_3 = a_3 \cdot 3 = 3\sqrt{3}R
\)

3) Для стороны квадрата \(a_4\):
\(
a_4 = 2R \cdot \sin\left(\frac{180^\circ}{4}\right) = 2R \cdot \sin 45^\circ = 2R \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = R\sqrt{2}
\)

4) Периметр квадрата \(P_4\):
\(
P_4 = a_4 \cdot 4 = 4\sqrt{2}R
\)

5) Выражаем отношение периметров:
\(
\frac{P_3}{P_4} = \frac{3\sqrt{3}R}{4\sqrt{2}R} = \frac{3\sqrt{3}}{4\sqrt{2}}
\)

6) Упрощаем дробь:
\(
\frac{3\sqrt{3}}{4\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{6}}{8}
\)

Ответ:

\(
\frac{P_3}{P_4} = \frac{3\sqrt{6}}{8}
\)

б) Дано:

— \(\triangle ABC\) — правильный;
— \(MNEF\) — квадрат;
— \(P_3 = P_{ABC}\);
— \(P_4 = P_{MNEF}\).

Найти: \(\frac{P_3}{P_4}\).

Решение:

1) Для стороны треугольника \(a_3\):
\(
a_3 = 2R \cdot \sin\left(\frac{180^\circ}{3}\right) = 2R \cdot \sin 60^\circ = 2R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = R\sqrt{3}
\)

2) Для стороны квадрата \(a_4\):
\(
a_4 = 2R \cdot \sin\left(\frac{180^\circ}{4}\right) = 2R \cdot \sin 45^\circ = 2R \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = R\sqrt{2}
\)

3) Радиус вписанной окружности \(r\):
\(
r = R \cdot \cos\left(\frac{180^\circ}{3}\right) = R \cdot \cos 60^\circ = \frac{R}{2} \Rightarrow R = 2r
\)

4) Радиус вписанной окружности для квадрата:
\(
r = R \cdot \cos\left(\frac{180^\circ}{4}\right) = R \cdot \cos 45^\circ = \frac{R\sqrt{2}}{2} \Rightarrow R = \frac{2r}{\sqrt{2}}
\)

5) Периметр треугольника \(P_3\):
\(
P_3 = a_3 \cdot 3 = 3\sqrt{3}R = 6\sqrt{3}r
\)

6) Периметр квадрата \(P_4\):
\(
P_4 = a_4 \cdot 4 = 4\sqrt{2}R = \frac{2r\sqrt{2} \cdot 4}{\sqrt{2}} = 8r
\)

7) Выражаем отношение периметров:
\(
\frac{P_3}{P_4} = \frac{6\sqrt{3}r}{8r} = \frac{3\sqrt{3}}{4}
\)

Ответ:

\(
\frac{P_3}{P_4} = \frac{3\sqrt{3}}{4}
\)

Решение а:

1) Для стороны треугольника \(a_3\):
\(
a_3 = 2R \cdot \sin\left(\frac{180^\circ}{3}\right) = 2R \cdot \sin 60^\circ = 2R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = R\sqrt{3}
\)

2) Периметр треугольника \(P_3\):
\(
P_3 = a_3 \cdot 3 = 3\sqrt{3}R
\)

3) Для стороны квадрата \(a_4\):
\(
a_4 = 2R \cdot \sin\left(\frac{180^\circ}{4}\right) = 2R \cdot \sin 45^\circ = 2R \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = R\sqrt{2}
\)

4) Периметр квадрата \(P_4\):
\(
P_4 = a_4 \cdot 4 = 4\sqrt{2}R
\)

5) Выражаем отношение периметров:
\(
\frac{P_3}{P_4} = \frac{3\sqrt{3}R}{4\sqrt{2}R} = \frac{3\sqrt{3}}{4\sqrt{2}}
\)

6) Упрощаем дробь:
\(
\frac{3\sqrt{3}}{4\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{6}}{8}
\)

Ответ:

\(
\frac{P_3}{P_4} \approx 0.612
\)

Решение б:

1) Для стороны треугольника \(a_3\):
\(
a_3 = 2R \cdot \sin\left(\frac{180^\circ}{3}\right) = 2R \cdot \sin 60^\circ = 2R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = R\sqrt{3}
\)

2) Для стороны квадрата \(a_4\):
\(
a_4 = 2R \cdot \sin\left(\frac{180^\circ}{4}\right) = 2R \cdot \sin 45^\circ = 2R \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = R\sqrt{2}
\)

3) Радиус вписанной окружности \(r\):
\(
r = R \cdot \cos\left(\frac{180^\circ}{3}\right) = R \cdot \cos 60^\circ = \frac{R}{2} \Rightarrow R = 2r
\)

4) Радиус вписанной окружности для квадрата:
\(
r = R \cdot \cos\left(\frac{180^\circ}{4}\right) = R \cdot \cos 45^\circ = \frac{R\sqrt{2}}{2} \Rightarrow R = \frac{2r}{\sqrt{2}}
\)

5) Периметр треугольника \(P_3\):
\(
P_3 = a_3 \cdot 3 = 3\sqrt{3}R = 6\sqrt{3}r
\)

6) Периметр квадрата \(P_4\):
\(
P_4 = a_4 \cdot 4 = 4\sqrt{2}R = \frac{2r\sqrt{2} \cdot 4}{\sqrt{2}} = 8r
\)

7) Выражаем отношение периметров:
\(
\frac{P_3}{P_4} = \frac{6\sqrt{3}r}{8r} = \frac{3\sqrt{3}}{4}
\)

Ответ:

\(
\frac{P_3}{P_4} \approx 1.299
\)