ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1130 Атанасян — Подробные Ответы

На стороне правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса 3 дм, построен квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата.

Дано: \(\triangle ABC\) — равносторонний; \(ACDE\) — квадрат; \(R_A = 3 \, \text{дм}\).

Найти: \(R_{\text{кв}}\).

Решение:

1. Для равностороннего треугольника: \(a_3 = 2R \cdot \sin\left(\frac{180^\circ}{3}\right) = 2 \cdot 3 \cdot \sin 60^\circ = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \, \text{дм}\).

2. Сторона квадрата: \(a_4 = 3\sqrt{3} \, \text{дм}\).

3. Радиус описанной окружности квадрата: \(a_4 = 2R \cdot \sin\left(\frac{180^\circ}{4}\right) = 2R \cdot \sin 45^\circ = 2R \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = R\sqrt{2}\).

4. Уравнение: \(3\sqrt{3} = R\sqrt{2}\), решаем относительно \(R\):
\(
R = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{6}}{2} \, \text{дм}
\)

Ответ: \(R_{\text{кв}} = \frac{3\sqrt{6}}{2} \, \text{дм}\).

Дано: \(\triangle ABC\) — равносторонний треугольник, \(ACDE\) — квадрат, радиус описанной окружности треугольника \(R_A = 3 \, \text{дм}\).

Найти: радиус описанной окружности квадрата \(R_{\text{кв}}\).

Решение:

1. Рассмотрим сторону равностороннего треугольника \(ABC\). Для равностороннего треугольника со стороной \(a\) и радиусом описанной окружности \(R\), выполняется равенство:
\(
a_3 = 2R \cdot \sin\left(\frac{180^\circ}{3}\right)
\)
Подставим известные значения:
\(
a_3 = 2 \cdot 3 \cdot \sin 60^\circ = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \, \text{дм}
\)

2. Поскольку \(a_3\) также является стороной квадрата \(ACDE\), то \(a_4 = 3\sqrt{3} \, \text{дм}\).

3. Найдем радиус описанной окружности квадрата \(ACDE\). Для квадрата со стороной \(a\) и радиусом описанной окружности \(R\), выполняется равенство:
\(
a_4 = 2R \cdot \sin\left(\frac{180^\circ}{4}\right)
\)
Подставим известные значения:
\(
a_4 = 2R \cdot \sin 45^\circ = 2R \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = R\sqrt{2}
\)

4. Приравниваем выражения для сторон квадрата:
\(
3\sqrt{3} = R\sqrt{2}
\)

5. Выразим \(R\):
\(
R = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{6}}{2} \, \text{дм}
\)

Таким образом, радиус описанной окружности квадрата равен \(\frac{3\sqrt{6}}{2} \, \text{дм}\), что в десятичной форме примерно равно \(3.67 \, \text{дм}\). Ответ: \(R_{\text{кв}} = \frac{3\sqrt{6}}{2} \, \text{дм}\).