ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1125 Атанасян — Подробные Ответы

На сторонах прямоугольного треугольника как на диаметрах построены три полукруга. Докажите, что площадь полукруга, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей полукругов, построенных на катетах.

Дано: \(\triangle ABC\) — прямоугольный, \(\angle C = 90^\circ\).

Доказать: \(S_{AB} = S_{AC} + S_{CB}\).

Решение:

1. \(AB\), \(AC\), \(CB\) — полуокружности, следовательно, их площадь равна половине площади круга.

2. Площадь полуокружности \(S_{AB}\):
\(
S_{AB} = \frac{\pi (AB)^2}{4}
\)

3. Площадь полуокружности \(S_{AC}\):
\(
S_{AC} = \frac{\pi (AC)^2}{4}
\)

4. Площадь полуокружности \(S_{CB}\):
\(
S_{CB} = \frac{\pi (CB)^2}{4}
\)

5. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника:
\(
AB^2 = AC^2 + CB^2
\)

6. Подставим в формулу для площадей:
\(
\frac{\pi (AB)^2}{4} = \frac{\pi (AC)^2}{4} + \frac{\pi (CB)^2}{4}
\)

Таким образом, \(S_{AB} = S_{AC} + S_{CB}\), что и требовалось доказать.

Дано: \(\triangle ABC\) — прямоугольный, \(\angle C = 90^\circ\).

Доказать: \(S_{AB} = S_{AC} + S_{CB}\).

Рассмотрим полуокружности, построенные на сторонах \(AB\), \(AC\) и \(CB\) как на диаметрах.

1. Полуокружность на \(AB\) имеет радиус \(R = \frac{AB}{2}\). Площадь полуокружности:
\(
S_{AB} = \frac{1}{2} \pi R^2 = \frac{1}{2} \pi \left(\frac{AB}{2}\right)^2 = \frac{\pi AB^2}{8}
\)

2. Полуокружность на \(AC\) имеет радиус \(R = \frac{AC}{2}\). Площадь полуокружности:
\(
S_{AC} = \frac{1}{2} \pi R^2 = \frac{1}{2} \pi \left(\frac{AC}{2}\right)^2 = \frac{\pi AC^2}{8}
\)

3. Полуокружность на \(CB\) имеет радиус \(R = \frac{CB}{2}\). Площадь полуокружности:
\(
S_{CB} = \frac{1}{2} \pi R^2 = \frac{1}{2} \pi \left(\frac{CB}{2}\right)^2 = \frac{\pi CB^2}{8}
\)

4. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника \(\triangle ABC\):
\(
AB^2 = AC^2 + CB^2
\)

5. Подставим это равенство в формулу для площади \(S_{AB}\):
\(
\frac{\pi AB^2}{8} = \frac{\pi (AC^2 + CB^2)}{8}
\)

6. Разделим правую часть на 2:
\(
\frac{\pi AB^2}{8} = \frac{\pi AC^2}{8} + \frac{\pi CB^2}{8}
\)

Таким образом, \(S_{AB} = S_{AC} + S_{CB}\), что и требовалось доказать.