ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1117 Атанасян — Подробные Ответы

Найдите площадь круга, вписанного: а) в равносторонний треугольник со стороной а; б) в прямоугольный треугольник с катетом a и прилежащим к нему острым углом α; в) в равнобедренный треугольник с боковой стороной a и углом α, противолежащим основанию; г) в равнобедренную трапецию с большим основанием a и острым углом α.

а) Обычный треугольник

1. Дано: \(\triangle ABC\), \(AC = BC = a\).
2. Радиус: \(r = \frac{a\sqrt{3}}{6}\).
3. Площадь: \(S = \pi r^2 = \frac{\pi a^2}{12}\).

б) Прямоугольный треугольник

1. Дано: \(\angle C = 90^\circ\), \(\angle A = \alpha\).
2. Стороны: \(AB = \frac{a}{\cos \alpha}\), \(BC = a \tan \alpha\).
3. Радиус: \(r = \frac{a(\sin \alpha + \cos \alpha — 1)}{2 \cos \alpha}\).
4. Площадь: \(S = \pi r^2 = \frac{\pi a^2 (\sin \alpha + \cos \alpha — 1)^2}{4 \cos^2 \alpha}\).

в) Равнобедренный треугольник

1. Дано: \(\angle B = \beta\), \(AB = BC = a\).
2. Отрезки: \(AH = a \sin \beta\), \(BH = a \cos \beta\).
3. Радиус: \(r = \frac{a \sin \beta}{2(1 + \sin \beta)}\).
4. Площадь: \(S = \pi r^2 = \frac{\pi a^2 \sin^2 \beta}{4(1+\sin \beta)^2}\).

г) Трапеция

1. Дано: \(AB = CD = a\), \(\angle A = \alpha\).
2. Радиус: \(r = AF \cdot \tan \alpha\).
3. Площадь: \(S = \pi r^2 = \frac{\pi a^2 \tan^2 \alpha}{12}\).

а) Обычный треугольник

Дано: треугольник \( \triangle ABC \), где \( AC = BC = a \).

1. Радиус вписанной окружности:
\(
r = \frac{a \sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot a \approx 0.2887 \cdot a
\)

2. Площадь треугольника:
\(
S = \pi r^2 = \pi \left(\frac{a \sqrt{3}}{6}\right)^2 = \pi \frac{3a^2}{36} = \frac{\pi a^2}{12} \approx 0.2618 \cdot a^2
\)

б) Прямоугольный треугольник

Дано: угол \( \angle C = 90^\circ \), угол \( \angle A = \alpha \).

1. Стороны треугольника:
\(
AB = \frac{a}{\cos \alpha}
\)
\(
BC = a \tan \alpha
\)

2. Радиус вписанной окружности:
\(
r = \frac{a(\sin \alpha + \cos \alpha — 1)}{2 \cos \alpha}
\)

3. Площадь треугольника:
\(
S = \pi r^2 = \pi \left(\frac{a(\sin \alpha + \cos \alpha — 1)}{2 \cos \alpha}\right)^2
\)
\(
= \frac{\pi a^2 (\sin \alpha + \cos \alpha — 1)^2}{4 \cos^2 \alpha}
\)

в) Равнобедренный треугольник

Дано: угол \( \angle B = \beta \), \( AB = BC = a \).

1. Отрезки:
\(
AH = a \sin \beta
\)
\(
BH = a \cos \beta
\)

2. Радиус вписанной окружности:
\(
r = \frac{a \sin \beta}{2(1 + \sin \beta)}
\)

3. Площадь треугольника:
\(
S = \pi r^2 = \pi \left(\frac{a \sin \beta}{2(1 + \sin \beta)}\right)^2
\)
\(
= \frac{\pi a^2 \sin^2 \beta}{4(1+\sin \beta)^2}
\)

г) Трапеция

Дано: \( AB = CD = a \), угол \( \angle A = \alpha \).

1. Радиус вписанной окружности:
\(
r = AF \cdot \tan \alpha
\)

2. Площадь трапеции:
\(
S = \pi r^2 = \frac{\pi a^2 \tan^2 \alpha}{12}
\)