Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1116 Атанасян — Подробные Ответы
Найдите площадь круга, описанного около: а) прямоугольника со сторонами a и b; б) прямоугольного треугольника с катетом a и противолежащим углом α; в) равнобедренного треугольника с основанием a и высотой h, проведённой к основанию.
а) Для прямоугольника \(ABCD\), вписанного в окружность радиуса \(R\):
1. Диагональ \(AC = \sqrt{a^2 + b^2}\).
2. Радиус окружности: \(R = \frac{1}{2} \sqrt{a^2 + b^2}\).
3. Площадь круга: \(S = \pi R^2 = \frac{\pi (a^2 + b^2)}{4}\).
б) Для треугольника \( \triangle ABC \), вписанного в окружность радиуса \(R\), где \(\angle C = 90^\circ\) и \(\angle B = \alpha\):
1. Радиус: \(R = \frac{a}{2 \sin \alpha}\).
2. Площадь круга: \(S = \frac{\pi a^2}{4 \sin^2 \alpha}\).
в) Для треугольника \( \triangle ABC \) с равными сторонами \(AB = BC\), вписанного в окружность радиуса \(R\), где \(BH = h\):
1. Используем теорему Пифагора: \(R^2 = (h — R)^2 + \frac{a^2}{4}\).
2. Решаем уравнение: \(2hR = h^2 + \frac{a^2}{4}\).
3. Радиус: \(R = \frac{4h^2 + a^2}{8h}\).
4. Площадь круга: \(S = \frac{\pi (4h^2 + a^2)^2}{64h^2}\).
а) Для прямоугольника \(ABCD\), вписанного в окружность радиуса \(R\), стороны \(AB = a\) и \(BC = b\):
1. Выразим диагональ \(AC\) через стороны: \(AC = \sqrt{a^2 + b^2}\).
2. Радиус окружности \(R\) равен половине диагонали, так как окружность описана вокруг прямоугольника: \(R = \frac{1}{2} \sqrt{a^2 + b^2}\).
3. Площадь круга \(S\) выражается через радиус: \(S = \pi R^2 = \pi \left(\frac{1}{2} \sqrt{a^2 + b^2}\right)^2 = \frac{\pi (a^2 + b^2)}{4}\).
б) Для треугольника \(\triangle ABC\), вписанного в окружность радиуса \(R\), где \(\angle C = 90^\circ\) и \(\angle B = \alpha\):
1. По определению, гипотенуза \(AC = a\).
2. Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы: \(R = \frac{a}{2}\).
3. Площадь круга \(S\) равна: \(S = \pi R^2 = \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{4}\).
в) Для равнобедренного треугольника \(\triangle ABC\), вписанного в окружность радиуса \(R\), где \(AB = BC = a\), высота \(BH = h\):
1. Центр окружности \(O\) находится на высоте \(OH = h — R\).
2. Половина основания \(AH = \frac{a}{2}\).
3. По теореме Пифагора для треугольника \(AOH\): \(R^2 = (h — R)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2\).
4. Раскрываем скобки и упрощаем: \(R^2 = h^2 — 2hR + R^2 + \frac{a^2}{4}\).
5. Приводим к виду: \(2hR = h^2 + \frac{a^2}{4}\).
6. Находим радиус \(R\): \(R = \frac{h^2 + \frac{a^2}{4}}{2h} = \frac{4h^2 + a^2}{8h}\).
7. Площадь круга \(S\) равна: \(S = \pi R^2 = \pi \left(\frac{4h^2 + a^2}{8h}\right)^2 = \frac{\pi (4h^2 + a^2)^2}{64h^2}\).
Это полное решение с детализацией для каждого из случаев.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.