ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1116 Атанасян — Подробные Ответы

Найдите площадь круга, описанного около: а) прямоугольника со сторонами a и b; б) прямоугольного треугольника с катетом a и противолежащим углом α; в) равнобедренного треугольника с основанием a и высотой h, проведённой к основанию.

а) Для прямоугольника \(ABCD\), вписанного в окружность радиуса \(R\):

1. Диагональ \(AC = \sqrt{a^2 + b^2}\).
2. Радиус окружности: \(R = \frac{1}{2} \sqrt{a^2 + b^2}\).
3. Площадь круга: \(S = \pi R^2 = \frac{\pi (a^2 + b^2)}{4}\).

б) Для треугольника \( \triangle ABC \), вписанного в окружность радиуса \(R\), где \(\angle C = 90^\circ\) и \(\angle B = \alpha\):

1. Радиус: \(R = \frac{a}{2 \sin \alpha}\).
2. Площадь круга: \(S = \frac{\pi a^2}{4 \sin^2 \alpha}\).

в) Для треугольника \( \triangle ABC \) с равными сторонами \(AB = BC\), вписанного в окружность радиуса \(R\), где \(BH = h\):

1. Используем теорему Пифагора: \(R^2 = (h — R)^2 + \frac{a^2}{4}\).
2. Решаем уравнение: \(2hR = h^2 + \frac{a^2}{4}\).
3. Радиус: \(R = \frac{4h^2 + a^2}{8h}\).
4. Площадь круга: \(S = \frac{\pi (4h^2 + a^2)^2}{64h^2}\).

а) Для прямоугольника \(ABCD\), вписанного в окружность радиуса \(R\), стороны \(AB = a\) и \(BC = b\):

1. Выразим диагональ \(AC\) через стороны: \(AC = \sqrt{a^2 + b^2}\).
2. Радиус окружности \(R\) равен половине диагонали, так как окружность описана вокруг прямоугольника: \(R = \frac{1}{2} \sqrt{a^2 + b^2}\).
3. Площадь круга \(S\) выражается через радиус: \(S = \pi R^2 = \pi \left(\frac{1}{2} \sqrt{a^2 + b^2}\right)^2 = \frac{\pi (a^2 + b^2)}{4}\).

б) Для треугольника \(\triangle ABC\), вписанного в окружность радиуса \(R\), где \(\angle C = 90^\circ\) и \(\angle B = \alpha\):

1. По определению, гипотенуза \(AC = a\).
2. Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы: \(R = \frac{a}{2}\).
3. Площадь круга \(S\) равна: \(S = \pi R^2 = \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{4}\).

в) Для равнобедренного треугольника \(\triangle ABC\), вписанного в окружность радиуса \(R\), где \(AB = BC = a\), высота \(BH = h\):

1. Центр окружности \(O\) находится на высоте \(OH = h — R\).
2. Половина основания \(AH = \frac{a}{2}\).
3. По теореме Пифагора для треугольника \(AOH\): \(R^2 = (h — R)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2\).
4. Раскрываем скобки и упрощаем: \(R^2 = h^2 — 2hR + R^2 + \frac{a^2}{4}\).
5. Приводим к виду: \(2hR = h^2 + \frac{a^2}{4}\).
6. Находим радиус \(R\): \(R = \frac{h^2 + \frac{a^2}{4}}{2h} = \frac{4h^2 + a^2}{8h}\).
7. Площадь круга \(S\) равна: \(S = \pi R^2 = \pi \left(\frac{4h^2 + a^2}{8h}\right)^2 = \frac{\pi (4h^2 + a^2)^2}{64h^2}\).

Это полное решение с детализацией для каждого из случаев.