Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1115 Атанасян — Подробные Ответы
Как изменится площадь круга, если его радиус: а) увеличить в k раз; б) уменьшить в k раз?
Для решения задачи используем формулу площади круга:
\( S = \pi R^2 \)
а) Если радиус увеличить в \( k \) раз, то новый радиус будет \( R_1 = kR \). Тогда площадь станет:
\( S_1 = \pi (kR)^2 = \pi k^2 R^2 = k^2 \pi R^2 \)
Отношение новой площади к старой:
\( \frac{S_1}{S} = \frac{k^2 \pi R^2}{\pi R^2} = k^2 \)
Таким образом, площадь увеличится в \( k^2 \) раз.
б) Если радиус уменьшить в \( k \) раз, то новый радиус будет \( R_2 = \frac{R}{k} \). Тогда площадь станет:
\( S_2 = \pi \left(\frac{R}{k}\right)^2 = \pi \frac{R^2}{k^2} \)
Отношение новой площади к старой:
\( \frac{S_2}{S} = \frac{\pi \frac{R^2}{k^2}}{\pi R^2} = \frac{1}{k^2} \)
Таким образом, площадь уменьшится в \( k^2 \) раз.
Для решения задачи необходимо выяснить, как изменится площадь круга при изменении его радиуса.
Формула площади круга:
\( S = \pi R^2 \)
где \( S \) — площадь, \( R \) — радиус, \( \pi \) — математическая постоянная, приблизительно равная 3,14.
а) Увеличение радиуса в \( k \) раз:
Новый радиус: \( R_1 = kR \).
Новая площадь:
\( S_1 = \pi (kR)^2 = \pi k^2 R^2 \)
Отношение новой площади к старой:
\( \frac{S_1}{S} = \frac{\pi k^2 R^2}{\pi R^2} = k^2 \)
Это означает, что площадь увеличится в \( k^2 \) раз.
б) Уменьшение радиуса в \( k \) раз:
Новый радиус: \( R_2 = \frac{R}{k} \).
Новая площадь:
\( S_2 = \pi \left(\frac{R}{k}\right)^2 = \pi \frac{R^2}{k^2} \)
Отношение новой площади к старой:
\( \frac{S_2}{S} = \frac{\pi \frac{R^2}{k^2}}{\pi R^2} = \frac{1}{k^2} \)
Это означает, что площадь уменьшится в \( k^2 \) раз.
Вывод: при увеличении радиуса в \( k \) раз площадь увеличивается в \( k^2 \) раз, а при уменьшении радиуса в \( k \) раз площадь уменьшается в \( k^2 \) раз.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.