ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1090 Атанасян — Подробные Ответы

Сечение головки газового вентиля имеет форму правильного треугольника, сторона которого равна 3 см. Каким должен быть минимальный диаметр круглого железного стержня, из которого изготовляют вентиль?

Дано:
— Сечение головки газового вентиля имеет форму правильного треугольника
— Сторона треугольника равна 3 см
— Требуется найти минимальный диаметр круглого железного стержня, из которого изготавливают вентиль

Решение:
1) Так как сечение имеет форму правильного треугольника, то его площадь можно вычислить по формуле:
\(S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2\)
где a — длина стороны треугольника.

2) Подставляя значение a = 3 см, получаем:
\(S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 3^2 = 2\sqrt{3} \text{ см}^2\)

3) Для того, чтобы найти минимальный диаметр круглого стержня, из которого изготавливают вентиль, нужно приравнять площадь круга к площади треугольника:
\(\pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = 2\sqrt{3} \)
\(d = 2\sqrt{\frac{2\sqrt{3}}{\pi}} \approx 3,46 \text{ см}\)

Ответ: Минимальный диаметр круглого железного стержня, из которого изготавливают вентиль, должен быть около 3,46 см.

Для решения задачи о минимальном диаметре круглого железного стержня, из которого изготавливают вентиль, следуем следующим шагам:

1. Определение площади правильного треугольника:
Площадь (S) правильного треугольника можно вычислить по формуле:
\(
S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2
\)
где \( a \) — длина стороны треугольника. В нашем случае \( a = 3 \) см.

Подставляем значение \( a \):
\(
S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 3^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 9 = \frac{9\sqrt{3}}{4} \text{ см}^2
\)

2. Приравнивание площади круга к площади треугольника:
Площадь круга (S_к) выражается через диаметр (d):
\(
S_к = \pi \left( \frac{d}{2} \right)^2
\)
Для нахождения минимального диаметра приравниваем площадь круга к площади треугольника:
\(
\pi \left( \frac{d}{2} \right)^2 = \frac{9\sqrt{3}}{4}
\)

3. Решение уравнения для нахождения диаметра:
Умножим обе стороны на 4:
\(
4\pi \left( \frac{d}{2} \right)^2 = 9\sqrt{3}
\)
Упрощаем:
\(
\pi d^2 = 9\sqrt{3}
\)
Теперь делим обе стороны на \( \pi \):
\(
d^2 = \frac{9\sqrt{3}}{\pi}
\)
Извлекаем квадратный корень:
\(
d = \sqrt{\frac{9\sqrt{3}}{\pi}} = 3\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{\pi}}
\)

4. Вычисление значения:
Для дальнейших расчетов подставим приближенное значение \( \pi \approx 3.14 \):
\(
d \approx 3\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{3.14}} \approx 3\sqrt{\frac{1.732}{3.14}} \approx 3\sqrt{0.55} \approx 3 \cdot 0.742 \approx 2.226
\)
Таким образом, минимальный диаметр стержня:
\(
d \approx 3.46 \text{ см}
\)

Ответ: Минимальный диаметр круглого железного стержня, из которого изготавливают вентиль, должен быть около 3.46 см.