Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1057 Атанасян — Подробные Ответы
В равнобедренном треугольнике ABC AB = AC = b, ∠A = 30°. Найдите высоты BE и AD, а также отрезки AE, EC, BC.
Решение:
1) Так как ΔABC — равнобедренный, то AB = AC = b.
2) Поскольку ∠A = 30°, то ∠B = ∠C = 60°.
3) Используя свойства прямоугольного треугольника, находим:
\[BE = \frac{b}{2}\]
4) Применяя теорему Пифагора, вычисляем:
\[AE = \sqrt{b^2 — \left(\frac{b}{2}\right)^2} = \frac{b\sqrt{3}}{2}\]
5) Находим:
\[CE = AC — AE = b — \frac{b\sqrt{3}}{2} = \frac{b(2 — \sqrt{3})}{2}\]
6) Используя теорему Пифагора, определяем:
\[BC = \sqrt{b^2 + \left(\frac{b(2 — \sqrt{3})}{2}\right)^2} = b\sqrt{2 — \sqrt{3}}\]
7) Таким образом, ответ:
\[BE = \frac{b}{2}, \quad AD = \frac{b\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}, \quad AE = \frac{b\sqrt{3}}{2}, \quad EC = \frac{b(2 — \sqrt{3})}{2}, \quad BC = b\sqrt{2 — \sqrt{3}}\]
Полное решение:
Дано: ΔABC — равнобедренный треугольник, где AB = AC = b, ∠A = 30°.
Найти: BE, AD, AE, EC, BC.
Доказательство:
1) Так как ΔABC — равнобедренный, то противоположные стороны AB и CD, а также AD и BC равны и параллельны.
\[AB = CD\]
\[AD = BC\]
2) Рассмотрим треугольник ABC:
\[BD = BA + BC\]
Это следует из того, что сумма длин двух сторон треугольника больше длины третьей стороны.
3) Рассмотрим треугольник ACD:
\[AC = BC — BA\]
Это также следует из того, что разность длин двух сторон треугольника меньше длины третьей стороны.
4) Найдем произведение отрезков BD и AC:
\[BD \cdot AC = (BA + BC)(BC — BA) = EC^2 — BA^2\]
5) Так как \[CB = |BA| = b\], то
\[BD \cdot AC = b^2 — b^2 = 0\]
6) Из равенства произведения BD и AC нулю следует, что прямые AC и BD перпендикулярны.
7) Используя свойства прямоугольного треугольника, находим:
\[BE = \frac{b}{2}\]
8) Применяя теорему Пифагора, вычисляем:
\[AE = \sqrt{b^2 — \left(\frac{b}{2}\right)^2} = \frac{b\sqrt{3}}{2}\]
9) Находим:
\[CE = AC — AE = b — \frac{b\sqrt{3}}{2} = \frac{b(2 — \sqrt{3})}{2}\]
10) Используя теорему Пифагора, определяем:
\[BC = \sqrt{b^2 + \left(\frac{b(2 — \sqrt{3})}{2}\right)^2} = b\sqrt{2 — \sqrt{3}}\]
Таким образом, ответ:
\[BE = \frac{b}{2}, \quad AD = \frac{b\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}, \quad AE = \frac{b\sqrt{3}}{2}, \quad EC = \frac{b(2 — \sqrt{3})}{2}, \quad BC = b\sqrt{2 — \sqrt{3}}\]
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.