ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1001 Атанасян — Подробные Ответы

Напишите уравнение окружности, проходящей через точки A (3; 0) и B (−1; 2), если центр её лежит на прямой у = x + 2.

Дано: точки \(A(3, 0)\) и \(B(-1, 2)\) лежат на окружности. Прямая \(O\) имеет уравнение \(y = x + 2\).

1. Найдем радиус \(R\) окружности через точку \(A\):
\(
R = \sqrt{(3 — x)^2 + (0 — y)^2} = \sqrt{(3 — x)^2 + y^2}
\)

2. Найдем радиус \(R\) окружности через точку \(B\):
\(
R = \sqrt{(-1 — x)^2 + (2 — y)^2}
\)

3. Приравняем уравнения радиусов:
\(
(3 — x)^2 + y^2 = (-1 — x)^2 + (2 — y)^2
\)

4. Раскроем скобки и упростим:
\(
9 — 6x + x^2 + y^2 = 1 + 2x + x^2 + 4 — 4y + y^2
\)
\(
9 — 6x = 2x — 4y + 5
\)
\(
8x — 4y = 4
\)

5. Упростим уравнение:
\(
2x — y = 1
\)

6. Решим систему уравнений с прямой \(O\):
\(
\begin{cases}
2x — y = 1 \\
y = x + 2
\end{cases}
\)

7. Подставим \(y = x + 2\) в первое уравнение:
\(
2x — (x + 2) = 1
\)
\(
x = 3, \quad y = 5
\)

8. Центр окружности \((3, 5)\). Радиус:
\(
R = \sqrt{(3 — 3)^2 + (0 — 5)^2} = \sqrt{25} = 5
\)

9. Уравнение окружности:
\(
(x — 3)^2 + (y — 5)^2 = 25
\)

Дано: точки \(A(3, 0)\) и \(B(-1, 2)\) лежат на окружности. Прямая \(O\) имеет уравнение \(y = x + 2\).

1. Найдем радиус \(R\) через точку \(A\):
\(
R = \sqrt{(3 — x)^2 + (0 — y)^2} = \sqrt{(3 — x)^2 + y^2}
\)

2. Найдем радиус \(R\) через точку \(B\):
\(
R = \sqrt{(-1 — x)^2 + (2 — y)^2}
\)

3. Приравняем уравнения радиусов, так как \(A\) и \(B\) лежат на одной окружности:
\(
(3 — x)^2 + y^2 = (-1 — x)^2 + (2 — y)^2
\)

4. Раскроем скобки:
\(
(3 — x)^2 = 9 — 6x + x^2
\)
\(
(-1 — x)^2 = 1 + 2x + x^2
\)
\(
(2 — y)^2 = 4 — 4y + y^2
\)

5. Подставим в уравнение:
\(
9 — 6x + x^2 + y^2 = 1 + 2x + x^2 + 4 — 4y + y^2
\)

6. Упростим:
\(
9 — 6x = 5 + 2x — 4y
\)

7. Переносим и упрощаем:
\(
8x — 4y = 4
\)

8. Делим на 4:
\(
2x — y = 1
\)

9. Решим систему уравнений с прямой \(O\):
\(
\begin{cases}
2x — y = 1 \\
y = x + 2
\end{cases}
\)

10. Подставляем \(y = x + 2\) в первое уравнение:
\(
2x — (x + 2) = 1
\)
\(
2x — x — 2 = 1
\)
\(
x — 2 = 1
\)
\(
x = 3
\)

11. Найдем \(y\):
\(
y = x + 2 = 3 + 2 = 5
\)

12. Центр окружности \((3, 5)\). Найдем радиус:
\(
R = \sqrt{(3 — 3)^2 + (0 — 5)^2} = \sqrt{0 + 25} = \sqrt{25} = 5
\)

13. Уравнение окружности:
\(
(x — 3)^2 + (y — 5)^2 = 25
\)

Таким образом, уравнение окружности с центром в точке \((3, 5)\) и радиусом 5 будет \((x — 3)^2 + (y — 5)^2 = 25\).