Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 735 Атанасян — Подробные Ответы
В трапецию с основаниями \( a \) и \( b \) можно вписать окружность и около этой трапеции можно описать окружность. Найдите радиус вписанной окружности.
Дано: \(ABCD\) — трапеция, \(AD = a\), \(BC = b\). Найти \(r\).
Решение:
Так как \(ABCD\) — равнобедренная трапеция, вписанная в окружность, то \(AB = CD\).
Из свойства описанной трапеции:
\[
AB + CD = AD + BC = a + b,
\]
отсюда:
\[
AB = \frac{a + b}{2}.
\]
Высота трапеции равна \(BE = CF\). Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABE\):
\[
BE^2 = AB^2 — AE^2.
\]
Подставим значения:
\[
AE = \frac{a — b}{2}, \quad AB = \frac{a + b}{2}.
\]
Тогда:
\[
BE^2 = \left(\frac{a + b}{2}\right)^2 — \left(\frac{a — b}{2}\right)^2 = ab.
\]
Следовательно:
\[
BE = \sqrt{ab}.
\]
Так как \(BE = 2r\), то:
\[
r = \frac{\sqrt{ab}}{2}.
\]
Ответ:
\[
r = \frac{\sqrt{ab}}{2}.
\]
Дано: \(ABCD\) — трапеция, \(AD = a\), \(BC = b\). Найти радиус \(r\) вписанной окружности.
Решение:
1. Трапеция \(ABCD\) вписана в окружность, поэтому она является равнобедренной. Следовательно, \(AB = CD\).
2. Трапеция \(ABCD\) описана около окружности, значит, сумма длин противоположных сторон равна:
\[
AB + CD = AD + BC = a + b.
\]
Так как \(AB = CD\), то:
\[
AB = CD = \frac{a + b}{2}.
\]
3. Проведем высоты \(BE\) и \(CF\), которые являются перпендикулярами к основаниям \(AD\) и \(BC\).
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABE\). В нем гипотенуза \(AB = \frac{a + b}{2}\), а один из катетов \(AE = \frac{a — b}{2}\) (разность оснований трапеции делится поровну между двумя равными боковыми сторонами).
По теореме Пифагора запишем:
\[
BE^2 = AB^2 — AE^2.
\]
Подставим значения \(AB\) и \(AE\):
\[
BE^2 = \left(\frac{a + b}{2}\right)^2 — \left(\frac{a — b}{2}\right)^2.
\]
Раскроем скобки:
\[
BE^2 = \frac{(a + b)^2}{4} — \frac{(a — b)^2}{4}.
\]
Выполним вычисления:
\[
BE^2 = \frac{a^2 + 2ab + b^2}{4} — \frac{a^2 — 2ab + b^2}{4}.
\]
Сократим подобные члены:
\[
BE^2 = \frac{a^2 + 2ab + b^2 — a^2 + 2ab — b^2}{4}.
\]
Получаем:
\[
BE^2 = \frac{4ab}{4}.
\]
Итак:
\[
BE^2 = ab.
\]
Следовательно:
\[
BE = \sqrt{ab}.
\]
5. Радиус вписанной окружности равен половине высоты трапеции, то есть:
\[
r = \frac{BE}{2}.
\]
Подставим значение \(BE\):
\[
r = \frac{\sqrt{ab}}{2}.
\]
Ответ:
\[
r = \frac{\sqrt{ab}}{2}.
\]
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.