Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 731 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что около выпуклого четырёхугольника, образованного при пересечении биссектрис углов трапеции, можно описать окружность.
Дано: \(MEFN\) — трапеция, \(MA\), \(NC\), \(EA\), \(FC\) — биссектрисы.
Доказать: около \(ABCD\) можно описать окружность.
Решение:
1. \(MEFN\) — трапеция, значит \(EF \parallel MN\), отсюда \(\angle M + \angle E = 180^\circ\).
2. Пусть \(\angle 1 = \angle 2 = x\) и \(\angle 3 = \angle 4 = y\). Тогда:
\[
2x + 2y = 180^\circ \Rightarrow x + y = 90^\circ \Rightarrow \angle 1 + \angle 3 = 90^\circ.
\]
3. Аналогично, \(\angle NCD = 90^\circ.\)
4. Сумма углов четырёхугольника равна \(360^\circ\):
\[
\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ.
\]
Из условия \(\angle A + \angle C = 180^\circ\), значит:
\[
\angle B + \angle D = 360^\circ — 180^\circ = 180^\circ.
\]
5. Углы \(\angle A + \angle C\) и \(\angle B + \angle D\) составляют \(180^\circ\), следовательно, около \(ABCD\) можно описать окружность.
Дано: \(MEFN\) — трапеция, \(MA\), \(NC\), \(EA\), \(FC\) — биссектрисы.
Доказать: около \(ABCD\) можно описать окружность.
Решение:
1. Рассмотрим трапецию \(MEFN\). По свойству трапеции \(EF \parallel MN\), следовательно, углы при основании трапеции являются односторонними. Это означает, что:
\[
\angle M + \angle E = 180^\circ.
\]
2. Пусть \(\angle MAE = \angle 1 = x\), \(\angle EAF = \angle 2 = x\), \(\angle FNC = \angle 3 = y\), \(\angle CNM = \angle 4 = y\). Так как \(MA\) и \(EA\) — биссектрисы, то они делят углы поровну. Аналогично \(NC\) и \(FC\) делят углы поровну. Тогда:
\[
2x + 2y = 180^\circ.
\]
Разделим обе части уравнения на 2:
\[
x + y = 90^\circ.
\]
3. Из предыдущего шага видно, что \(\angle 1 + \angle 3 = 90^\circ\), а значит:
\[
\angle MAE + \angle FNC = 90^\circ.
\]
4. Аналогично, рассмотрим биссектрисы \(NC\) и \(FC\). Углы \(\angle NCD\) и \(\angle CNM\) также составляют \(90^\circ\):
\[
\angle NCD = 90^\circ.
\]
5. Рассмотрим четырехугольник \(ABCD\). Сумма углов любого четырехугольника равна \(360^\circ\):
\[
\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ.
\]
Из условия задачи известно, что \(\angle A + \angle C = 180^\circ\). Подставим это в уравнение:
\[
180^\circ + \angle B + \angle D = 360^\circ.
\]
Вычтем \(180^\circ\) из обеих частей уравнения:
\[
\angle B + \angle D = 180^\circ.
\]
6. Если сумма противоположных углов четырехугольника равна \(180^\circ\), то около него можно описать окружность (по теореме о вписанном четырехугольнике). Таким образом, около \(ABCD\) можно описать окружность.
Ответ: доказано, что около \(ABCD\) можно описать окружность.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.