ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 730 Атанасян — Подробные Ответы

Через точки \( A \) и \( B \) проведены прямые, перпендикулярные к сторонам угла \( AOB \) и пересекающиеся в точке \( C \) внутри угла. Докажите, что около четырёхугольника \( ACBO \) можно описать окружность.

Доказать, что если сумма противоположных углов четырёхугольника равна \(180^\circ\), то около него можно описать окружность.

Пусть четырёхугольник \(ABCD\) такой, что \(\angle A + \angle C = 180^\circ\). Проведём окружность через вершины \(A, B\) и \(D\) и докажем, что она проходит через вершину \(C\).

Предположим, что вершина \(C\) не лежит на окружности. Тогда она либо внутри круга, либо вне его:
1) Если \(C\) внутри круга, то \(\angle C = \frac{1}{2} (\angle DAB + \angle EF)\), а значит, \(\angle C > \angle DAB\). Учитывая, что \(\angle A = \frac{1}{2} \angle BD\), получаем \(\angle A + \angle C > \frac{1}{2} (\angle BED + \angle DAB) = \frac{1}{2} \cdot 360^\circ = 180^\circ\), что противоречит условию.
2) Аналогично для случая, если \(C\) вне круга.

Следовательно, вершина \(C\) лежит на окружности, и вокруг четырёхугольника \(ABCD\) можно описать окружность.

Дано:
\(
\angle AOB; \quad AC \perp AO; \quad BC \perp BO; \quad AC \cap BC = C;
\)
Доказать: около \(ACBO\) можно описать окружность.

Решение:

1. По условию \(AC \perp AO\) и \(BC \perp BO\), следовательно, углы \(OAC\) и \(OBC\) прямые:
\(
\angle OAC = 90^\circ \quad \text{и} \quad \angle OBC = 90^\circ.
\)

2. В любом четырёхугольнике сумма углов равна \(360^\circ\) (по теореме о сумме углов в многоугольнике):
\(
\angle A + \angle B + \angle C + \angle O = 360^\circ.
\)
Из условия известно, что \(AC \perp AO\) и \(BC \perp BO\), поэтому
\(
\angle A = 90^\circ \quad \text{и} \quad \angle B = 90^\circ.
\)
Подставляем значения углов \(A\) и \(B\) в формулу:
\(
90^\circ + 90^\circ + \angle C + \angle O = 360^\circ.
\)
Упростим выражение:
\(
\angle C + \angle O = 360^\circ — (90^\circ + 90^\circ) = 180^\circ.
\)

3. В выпуклом четырёхугольнике, если сумма противоположных углов равна \(180^\circ\), то около него можно описать окружность. В данном случае:
\(
\angle A + \angle B = 180^\circ \quad \text{и} \quad \angle O + \angle C = 180^\circ.
\)
Следовательно, около четырёхугольника \(ACBO\) можно описать окружность, что и требовалось доказать.