Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 726 Атанасян — Подробные Ответы
Центр описанной около треугольника окружности лежит на медиане. Докажите, что этот треугольник либо равнобедренный, либо прямоугольный.
дано: \( \Delta ABC \) — вписанный; \( \text{Окр } (O; r) \); \( O \in \text{медиане} \).
доказать: \( \Delta ABC \) — \( \pi/6 \) или прямоугольный.
решение:
1. Центр окружности \( O \) лежит на медиане \( BD \), которая одновременно является серединным перпендикуляром. Следовательно, углы \( \angle ADB \) и \( \angle CDB \) равны \( 90^\circ \).
2. Треугольники \( \Delta ABD \) и \( \Delta BCD \) прямоугольные, имеют общий катет \( BD \) и равные гипотенузы (\( AD = DC \)). Значит, \( AB = BC \), и треугольник \( \Delta ABC \) равнобедренный.
3. Так как медиана \( CO \) совпадает с диаметром окружности, угол \( \angle ACB \) опирается на диаметр и равен \( 90^\circ \).
Таким образом, \( \Delta ABC \) — прямоугольный, что и требовалось доказать.
Дано: \( \Delta ABC \) — вписанный, центр описанной окружности \( O \) лежит на медиане \( BD \).
Требуется доказать: \( \Delta ABC \) либо прямоугольный, либо один из его углов равен \( \pi/6 \).
Решение:
1. Так как треугольник \( \Delta ABC \) вписан в окружность, то центр описанной окружности \( O \) является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
2. По условию центр окружности \( O \) лежит на медиане \( BD \). Медиана \( BD \) делит сторону \( AC \) пополам, то есть \( AD = DC \).
3. Центр окружности \( O \), лежащий на медиане \( BD \), также находится на равном расстоянии от всех вершин треугольника. Это возможно только в одном из двух случаев:
а) медиана \( BD \) является высотой, то есть угол \( \angle ADB = \angle CDB = 90^\circ \);
б) треугольник \( \Delta ABC \) равнобедренный с углом при вершине \( B \), равным \( \pi/3 \), что делает углы при основании \( \pi/6 \).
4. Рассмотрим первый случай: если медиана \( BD \) является также высотой, то треугольник \( \Delta ABC \) прямоугольный. Угол \( \angle ACB \), опирающийся на диаметр описанной окружности, равен \( 90^\circ \).
5. Рассмотрим второй случай: если \( \Delta ABC \) равнобедренный и угол при вершине \( B \) равен \( \pi/3 \), то углы при основании \( A \) и \( C \) равны \( \pi/6 \). Это следует из свойства углов равнобедренного треугольника, сумма которых равна \( \pi \).
Вывод: треугольник \( \Delta ABC \) либо прямоугольный, либо один из его углов равен \( \pi/6 \).
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.