Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 725 Атанасян — Подробные Ответы
Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию с основаниями \( a \) и \( b \).
Дано:
\(ABCD\) — прямоугольная трапеция;
\(BC = a\);
\(AD = b\);
Найти: \(r\).
Решение:
1) Проведём высоту \(CH\), примем \(CH = 2r\);
2) \(DH = AD — AH = AD — BC = b — a\);
3) \(CD + BA = BC + AD\) (по свойству вписанной в четырёхугольник окружности), отсюда
\[
CD = BA + AD — BA = a + b — 2r \quad (\text{так как } AB = CH);
\]
4) По теореме Пифагора:
\[
CD^2 = CH^2 + HD^2;
\]
\[
(a + b — 2r)^2 = (2r)^2 + (b — a)^2;
\]
\[
a^2 + ab — 2ar + ab + b^2 — 2rb — 2ra — 2rb + 4r^2 = 4r^2 + b^2 — 2ab + a^2;
\]
\[
a^2 + 2ab — 4ra — 4rb + b^2 + 4r^2 = 4r^2 + b^2 — 2ab + a^2;
\]
\[
4ab — 4ra — 4rb = 0 \quad \Rightarrow \quad ab — ra — rb = 0;
\]
\[
ab — r(a + b) = 0 \quad \Rightarrow \quad r = \frac{ab}{a + b}.
\]
Ответ:
\[
r = \frac{ab}{a + b}.
\]
Дано: \(ABCD\) — прямоугольная трапеция, \(BC = a\), \(AD = b\).
Проведём высоту \(CH\), примем \(CH = 2r\).
Найдём \(DH = AD — AH = b — a\).
По свойству вписанной окружности:
\[
CD + BA = BC + AD,
\]
где \(BA = AB = CH = 2r\).
Следовательно:
\[
CD = a + b — 2r.
\]
Применим теорему Пифагора для треугольника \(CDH\):
\[
CD^2 = CH^2 + HD^2.
\]
Подставим значения:
\[
(a + b — 2r)^2 = (2r)^2 + (b — a)^2.
\]
Раскроем скобки:
\[
(a + b — 2r)^2 = a^2 + 2ab + b^2 — 4ar — 4rb + 4r^2,
\]
\[
(2r)^2 = 4r^2,
\]
\[
(b — a)^2 = b^2 — 2ab + a^2.
\]
Подставим всё в уравнение:
\[
a^2 + 2ab + b^2 — 4ar — 4rb + 4r^2 = 4r^2 + b^2 — 2ab + a^2.
\]
Сократим одинаковые слагаемые:
\[
4ab — 4ra — 4rb = 0.
\]
Вынесем \(r\) за скобки:
\[
r(a + b) = ab.
\]
Отсюда:
\[
r = \frac{ab}{a + b}.
\]
Ответ:
\[
r = \frac{ab}{a + b}.
\]
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.