Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 723 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что если прямые, содержащие основания трапеции, касаются окружности, то прямая, проходящая через середины боковых сторон трапеции, проходит через центр этой окружности.
Дано \(ABCD\) — трапеция, где \(BC\) и \(AD\) — касательные, а \(FK\) — средняя линия. Требуется доказать, что \(O \in FK\).
Решение:
1. \(BC\) — касательная, следовательно, \(OE \perp BC\). \(AD\) — касательная, следовательно, \(ON \perp AD\).
2. \(AD \parallel BC\) (по определению трапеции), следовательно, \(EN \perp BC\) и \(AD\). Точка \(O \in EN\), так как \(EN\) — диаметр окружности.
3. \(FK\) — средняя линия, значит \(FK \parallel BC\) и \(FK \parallel AD\). Также \(FK \cap EN = O\).
4. По теореме Фалеса \(BF = FA\), следовательно, \(EO = ON\). Таким образом, \(O \in FK\).
Что и требовалось доказать.
Дано:
\(ABCD\) — трапеция, где \(BC\) и \(AD\) являются касательными к окружности, \(FK\) — средняя линия. Требуется доказать, что точка \(O\), являющаяся центром окружности, лежит на средней линии \(FK\).
Решение:
1. Так как \(BC\) — касательная к окружности, то радиус, проведённый в точку касания, будет перпендикулярен касательной. Следовательно, \(OE \perp BC\). Аналогично, \(AD\) — касательная, поэтому \(ON \perp AD\).
2. По определению трапеции \(AD \parallel BC\). В результате \(EN\), соединяющая точки касания \(E\) и \(N\) на противоположных сторонах трапеции, будет перпендикулярна обеим основаниям (\(BC\) и \(AD\)). Поскольку \(EN\) является диаметром окружности, центр окружности \(O\) лежит на прямой \(EN\).
3. \(FK\) — средняя линия трапеции, которая по определению параллельна основаниям \(BC\) и \(AD\) и проходит через середины боковых сторон \(AB\) и \(CD\). Таким образом, \(FK \parallel BC\) и \(FK \parallel AD\). Кроме того, так как \(EN\) перпендикулярна основаниям трапеции, то прямая \(FK\), проходящая через середины боковых сторон, пересекает \(EN\) в точке \(O\).
4. По теореме Фалеса, если \(FK \parallel BC\) и \(FK \parallel AD\), а также \(BF = FA\) (середина боковой стороны), то отношение отрезков на диаметре окружности будет равным. Следовательно, \(EO = ON\), то есть точка \(O\) делит \(EN\) пополам.
Таким образом, центр окружности \(O\) лежит на средней линии \(FK\).
Что и требовалось доказать.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.