Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 722 Атанасян — Подробные Ответы
Четырёхугольник \(ABCD\) описан около окружности радиуса \(r\). Известно, что \(AB : CD = 2 : 3\), \(AD : BC = 2 : 1\). Найдите стороны четырёхугольника, если его площадь равна \(S\).
Дано: \(AB : CD = 2 : 3\), \(AD : BC = 2 : 1\), \(\text{S}_{ABCD} = S\). Вписанная окружность радиуса \(r\).
Решение:
1) Радиус окружности:
\[
r = \frac{2S}{P_{ABCD}}, \quad \text{где} \quad P = \frac{2S}{r}.
\]
2) По свойству вписанной окружности:
\[
AB + CD = BC + AD = \frac{S}{r}.
\]
3) Пусть \(AB = 2x\), \(CD = 3x\):
\[
2x + 3x = \frac{S}{r}, \quad \text{отсюда} \quad x = \frac{S}{5r}, \quad AB = \frac{2S}{5r}, \quad CD = \frac{3S}{5r}.
\]
4) Пусть \(AD = 2y\), \(BC = y\):
\[
2y + y = \frac{S}{r}, \quad \text{отсюда} \quad y = \frac{S}{3r}, \quad BC = \frac{S}{3r}, \quad AD = \frac{2S}{3r}.
\]
Ответ:
\[
AB = \frac{2S}{5r}, \quad CD = \frac{3S}{5r}, \quad BC = \frac{S}{3r}, \quad AD = \frac{2S}{3r}.
\]
Все дробные ответы уже представлены в виде несократимых дробей.
Дано: четырехугольник \(ABCD\) с вписанной окружностью, радиус которой равен \(r\). Известно, что отношения сторон \(AB : CD = 2 : 3\) и \(AD : BC = 2 : 1\). Площадь четырехугольника равна \(S\). Требуется найти длины сторон \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(AD\).
Решение:
1) Вписанная окружность существует в четырехугольнике, если сумма длин противоположных сторон равна:
\[
AB + CD = AD + BC.
\]
2) Периметр четырехугольника выражается через радиус окружности и площадь:
\[
P = \frac{2S}{r}.
\]
3) Так как \(AB + CD = AD + BC\), то каждая из этих сумм равна половине периметра:
\[
AB + CD = AD + BC = \frac{P}{2}.
\]
4) Подставим значение периметра:
\[
AB + CD = AD + BC = \frac{S}{r}.
\]
5) Пусть \(AB = 2x\) и \(CD = 3x\) (по условию \(AB : CD = 2 : 3\)). Тогда:
\[
AB + CD = 2x + 3x = 5x.
\]
6) Из условия \(AB + CD = \frac{S}{r}\) получаем:
\[
5x = \frac{S}{r}, \quad x = \frac{S}{5r}.
\]
Теперь найдем \(AB\) и \(CD\):
\[
AB = 2x = 2 \cdot \frac{S}{5r} = \frac{2S}{5r},
\]
\[
CD = 3x = 3 \cdot \frac{S}{5r} = \frac{3S}{5r}.
\]
7) Пусть \(AD = 2y\) и \(BC = y\) (по условию \(AD : BC = 2 : 1\)). Тогда:
\[
AD + BC = 2y + y = 3y.
\]
8) Из условия \(AD + BC = \frac{S}{r}\) получаем:
\[
3y = \frac{S}{r}, \quad y = \frac{S}{3r}.
\]
Теперь найдем \(AD\) и \(BC\):
\[
AD = 2y = 2 \cdot \frac{S}{3r} = \frac{2S}{3r},
\]
\[
BC = y = \frac{S}{3r}.
\]
Ответ:
\[
AB = \frac{2S}{5r}, \quad CD = \frac{3S}{5r}, \quad BC = \frac{S}{3r}, \quad AD = \frac{2S}{3r}.
\]
Все дроби являются несократимыми, и их нельзя представить в виде смешанных чисел.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.