ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 721 Атанасян — Подробные Ответы

Докажите, что если в прямоугольник можно вписать окружность, то этот прямоугольник — квадрат.

Дано: прямоугольник \(ABCD\) с вписанной окружностью.

Доказательство:
1) По определению прямоугольника:
\(
AB = DC = a, \quad AD = BC = b.
\)
2) По свойству вписанной окружности:
\(
AB + CD = AD + BC.
\)
Подставляем:
\(
a + a = b + b \quad \text{или} \quad 2a = 2b.
\)
3) Следовательно, \(a = b\).

4) Значит \(AB = BC = CD = AD\), то есть \(ABCD\) — квадрат.

Дано: прямоугольник \(ABCD\) с вписанной окружностью радиуса \(r\). Требуется доказать, что \(ABCD\) является квадратом.

Рассмотрим решение:

1. Прямоугольник \(ABCD\) имеет противоположные стороны равными по длине:
\(
AB = DC = a \quad \text{и} \quad AD = BC = b.
\)

2. Окружность вписана в прямоугольник. По свойству вписанной окружности, сумма длин противоположных сторон прямоугольника равна:
\(
AB + CD = AD + BC.
\)
Подставляем значения сторон:
\(
a + a = b + b.
\)
Упрощаем:
\(
2a = 2b.
\)

3. Делим обе части равенства на \(2\):
\(
a = b.
\)
Таким образом, все стороны прямоугольника равны между собой.

4. Если прямоугольник имеет равные стороны, то он является квадратом. Следовательно, \(ABCD\) — квадрат.

Вывод: прямоугольник \(ABCD\) с вписанной окружностью является квадратом, что и требовалось доказать.