Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 719 Атанасян — Подробные Ответы
Через точку, лежащую вне окружности, проведены две секущие. Докажите, что угол между ними измеряется полуразностью дуг, заключённых внутри угла.
Дано: окружность \((O; r)\), \(AC\), \(AE\) — секущие.
Доказать:
\[
\angle CAE = \frac{1}{2} (\overset{\frown}{CE} — \overset{\frown}{BD}).
\]
Рассмотрим треугольник \(\triangle ACD\). По теореме о сумме углов треугольника:
\[
\angle A = 180^\circ — (\angle C + \angle D).
\]
Угол \(\angle D\) является смежным с \(\angle CDE\), поэтому:
\[
\angle D = 180^\circ — \angle CDE.
\]
Угол \(\angle CDE\) — вписанный, следовательно:
\[
\angle CDE = \frac{1}{2} \overset{\frown}{CE}.
\]
Подставим:
\[
\angle D = 180^\circ — \frac{1}{2} \overset{\frown}{CE}.
\]
Угол \(\angle C\) также вписанный, поэтому:
\[
\angle C = \frac{1}{2} \overset{\frown}{BD}.
\]
Теперь выразим угол \(\angle CAE\):
\[
\angle CAE = 180^\circ — (\angle C + \angle D).
\]
Подставим значения:
\[
\angle CAE = 180^\circ — \left(\frac{1}{2} \overset{\frown}{BD} + \left(180^\circ — \frac{1}{2} \overset{\frown}{CE}\right)\right).
\]
Раскроем скобки:
\[
\angle CAE = 180^\circ — \frac{1}{2} \overset{\frown}{BD} — 180^\circ + \frac{1}{2} \overset{\frown}{CE}.
\]
Сократим:
\[
\angle CAE = \frac{1}{2} (\overset{\frown}{CE} — \overset{\frown}{BD}),
\]
что и требовалось доказать.
Дано: окружность \((O; r)\), \(AC\), \(AE\) — секущие.
Доказать:
\[
\angle CAE = \frac{1}{2} (\overset{\frown}{CE} — \overset{\frown}{BD}).
\]
Рассмотрим треугольник \(\triangle ACD\). По теореме о сумме углов треугольника:
\[
\angle A = 180^\circ — (\angle C + \angle D).
\]
Угол \(\angle D\) является смежным с \(\angle CDE\). Следовательно:
\[
\angle D = 180^\circ — \angle CDE.
\]
Угол \(\angle CDE\) — вписанный угол, опирающийся на дугу \(\overset{\frown}{CE}\). По свойству вписанного угла:
\[
\angle CDE = \frac{1}{2} \overset{\frown}{CE}.
\]
Подставим значение \(\angle CDE\) в выражение для \(\angle D\):
\[
\angle D = 180^\circ — \frac{1}{2} \overset{\frown}{CE}.
\]
Угол \(\angle C\) также является вписанным углом, опирающимся на дугу \(\overset{\frown}{BD}\). По свойству вписанного угла:
\[
\angle C = \frac{1}{2} \overset{\frown}{BD}.
\]
Теперь выразим угол \(\angle CAE\). По свойству угла между секущими:
\[
\angle CAE = 180^\circ — (\angle C + \angle D).
\]
Подставим значения \(\angle C\) и \(\angle D\):
\[
\angle CAE = 180^\circ — \left(\frac{1}{2} \overset{\frown}{BD} + \left(180^\circ — \frac{1}{2} \overset{\frown}{CE}\right)\right).
\]
Раскроем скобки:
\[
\angle CAE = 180^\circ — \frac{1}{2} \overset{\frown}{BD} — 180^\circ + \frac{1}{2} \overset{\frown}{CE}.
\]
Сократим одинаковые величины:
\[
\angle CAE = \frac{1}{2} (\overset{\frown}{CE} — \overset{\frown}{BD}).
\]
Таким образом, доказательство завершено.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.