Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 718 Атанасян — Подробные Ответы
По данным рисунка 237 докажите, что
\[
\angle AMB = \frac{1}{2} (\overset{\frown}{CLD} + \overset{\frown}{AKB}).
\]
Решение:
Проведём хорду \(BC\). Так как \(\angle AMB\) — внешний угол треугольника \(BMC\), то
\[
\angle AMB = \angle 1 + \angle 2.
\]
По теореме о вписанном угле:
\[
\angle 1 = \frac{1}{2} \overset{\frown}{CLD},
\]
\[
\angle 2 = \frac{1}{2} \overset{\frown}{AKB}.
\]
Следовательно,
\[
\angle AMB = \frac{1}{2} (\overset{\frown}{CLD} + \overset{\frown}{AKB}).
\]
Дано:
Окружность \((O; r)\).
Доказать:
\[
\angle AMB = \frac{1}{2} (\overset{\frown}{CLD} + \overset{\frown}{AKB}).
\]
Доказательство:
Проведем хорду \(BC\). Внешний угол \(\angle AMB\) равен сумме углов \(\angle 1\) и \(\angle 2\), то есть
\[
\angle AMB = \angle 1 + \angle 2.
\]
Угол \(\angle 1\) является вписанным, опирающимся на дугу \(\overset{\frown}{CLD}\), следовательно,
\[
\angle 1 = \frac{1}{2} \overset{\frown}{CLD}.
\]
Аналогично, угол \(\angle 2\) является вписанным, опирающимся на дугу \(\overset{\frown}{AKB}\), поэтому
\[
\angle 2 = \frac{1}{2} \overset{\frown}{AKB}.
\]
Складывая, получаем:
\[
\angle AMB = \frac{1}{2} \overset{\frown}{CLD} + \frac{1}{2} \overset{\frown}{AKB} = \frac{1}{2} (\overset{\frown}{CLD} + \overset{\frown}{AKB}),
\]
что и требовалось доказать.
Дано:
Окружность \((O; r)\), точки \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(M\), \(K\), \(L\) расположены на окружности.
Требуется доказать:
\[
\angle AMB = \frac{1}{2} (\overset{\frown}{CLD} + \overset{\frown}{AKB}).
\]
Рассмотрим решение:
1. Проведем хорду \(BC\), которая соединяет точки \(B\) и \(C\).
Угол \(\angle AMB\) является внешним углом к треугольнику \(\triangle BMC\), поэтому выполняется равенство:
\[
\angle AMB = \angle 1 + \angle 2,
\]
где \(\angle 1\) и \(\angle 2\) — углы, образованные точкой \(M\) с дугами \(\overset{\frown}{CLD}\) и \(\overset{\frown}{AKB}\) соответственно.
2. Угол \(\angle 1\) является вписанным углом, опирающимся на дугу \(\overset{\frown}{CLD}\). Согласно свойству вписанного угла, его величина равна половине величины дуги, на которую он опирается:
\[
\angle 1 = \frac{1}{2} \overset{\frown}{CLD}.
\]
3. Угол \(\angle 2\) также является вписанным углом, опирающимся на дугу \(\overset{\frown}{AKB}\). Аналогично, его величина равна половине величины дуги, на которую он опирается:
\[
\angle 2 = \frac{1}{2} \overset{\frown}{AKB}.
\]
4. Подставим выражения для \(\angle 1\) и \(\angle 2\) в формулу для \(\angle AMB\):
\[
\angle AMB = \frac{1}{2} \overset{\frown}{CLD} + \frac{1}{2} \overset{\frown}{AKB}.
\]
5. Вынесем общий множитель \(\frac{1}{2}\):
\[
\angle AMB = \frac{1}{2} (\overset{\frown}{CLD} + \overset{\frown}{AKB}).
\]
Таким образом, доказательство завершено, и мы показали, что
\[
\angle AMB = \frac{1}{2} (\overset{\frown}{CLD} + \overset{\frown}{AKB}),
\]
что требовалось доказать.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.