ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 716 Атанасян — Подробные Ответы

 Точки \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) лежат на окружности. Докажите, что если \(\angle AB = \angle CD\), то \(AB = CD\).

Дано: окружность \((O; r)\), точки \(A, B, C, D\) принадлежат окружности, дуги \(\overset{\frown}{AB}\) и \(\overset{\frown}{CD}\) равны.

Доказать: \(AB = CD\).

Решение: центральные углы \(\angle AOB\) и \(\angle COD\) опираются на равные дуги, следовательно, \(\angle AOB = \angle COD\). Радиусы \(AO, OB, OC, OD\) равны, значит, треугольники \(\triangle AOB\) и \(\triangle COD\) равны по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует, что \(AB = CD\).

Дано: окружность \((O; r)\), точки \(A, B, C, D\) принадлежат окружности, дуги \(\overset{\frown}{AB}\) и \(\overset{\frown}{CD}\) равны, то есть \(\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{CD}\).

Доказать: \(AB = CD\).

Доказательство:

1. Рассмотрим центральные углы \(\angle AOB\) и \(\angle COD\), которые опираются соответственно на дуги \(\overset{\frown}{AB}\) и \(\overset{\frown}{CD}\). Поскольку \(\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{CD}\), то центральные углы также равны:
\[
\angle AOB = \angle COD.
\]

2. Радиусы окружности равны: \(AO = OB = OC = OD = r\).

3. Рассмотрим треугольники \(\triangle AOB\) и \(\triangle COD\). У них:
— \(AO = OC\) (радиусы окружности),
— \(OB = OD\) (радиусы окружности),
— \(\angle AOB = \angle COD\) (равенство центральных углов).

Таким образом, треугольники \(\triangle AOB\) и \(\triangle COD\) равны по двум сторонам и углу между ними.

4. Из равенства треугольников \(\triangle AOB = \triangle COD\) следует равенство соответствующих сторон:
\[
AB = CD.
\]

Это и требовалось доказать.