Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 714 Атанасян — Подробные Ответы
Две окружности имеют общую точку \(M\) и общую касательную в этой точке. Прямая \(AB\) касается одной окружности в точке \(A\), а другой — в точке \(B\). Докажите, что точка \(M\) лежит на окружности с диаметром \(AB\).
Дано: окружности \((O_1; r_1)\) и \((O_2; r_2)\) пересекаются в точке \(M\), касательная \(a\) проходит через \(M\), \(AB\) — общая касательная. Требуется доказать, что \(M \in (K; \frac{AB}{2})\).
Решение:
Пусть \(K = a \cap AB\). По свойству касательных из одной точки: \(AK = KM\) и \(KB = KM\), следовательно, \(AK = KM = KB\). Таким образом, \(AB = AK + KB = 2KM\), а радиус окружности с центром в \(K\) равен \(\frac{AB}{2}\). Точка \(M\) принадлежит этой окружности, что и требовалось доказать.
Дано: две окружности \((O_1; r_1)\) и \((O_2; r_2)\) пересекаются в точке \(M\). Проведена касательная \(a\), проходящая через точку \(M\), а также общая касательная \(AB\). Требуется доказать, что точка \(M\) принадлежит окружности с центром в точке \(K\) и радиусом \(\frac{AB}{2}\), где \(K\) — точка пересечения касательной \(a\) и прямой \(AB\).
Решение:
1. Проведем касательную \(a\) через точку \(M\) и обозначим точку пересечения касательной \(a\) и прямой \(AB\) как \(K\), то есть \(K = a \cap AB\).
2. Согласно свойству касательных, проведенных из одной точки, длины отрезков \(AK\) и \(KB\), образованных касательной \(AB\), равны между собой. Также длины отрезков \(AK\) и \(KM\), образованных касательной \(a\), равны между собой. Таким образом:
\[
AK = KM \quad \text{и} \quad KB = KM.
\]
3. Из равенства \(AK = KM = KB\) следует, что точки \(A\), \(M\), \(B\) лежат на окружности с центром в точке \(K\) и радиусом \(KM\).
4. Длина отрезка \(AB\) равна сумме длин отрезков \(AK\) и \(KB\):
\[
AB = AK + KB.
\]
Подставляя равенства \(AK = KM\) и \(KB = KM\), получаем:
\[
AB = KM + KM = 2KM.
\]
5. Радиус окружности с центром в точке \(K\) равен половине длины отрезка \(AB\):
\[
KM = \frac{AB}{2}.
\]
6. Таким образом, точка \(M\) принадлежит окружности с центром в точке \(K\) и радиусом \(\frac{AB}{2}\):
\[
M \in (K; \frac{AB}{2}).
\]
Ответ: точка \(M\) принадлежит окружности с центром в \(K\) и радиусом \(\frac{AB}{2}\), что и требовалось доказать.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.