Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 713 Атанасян — Подробные Ответы
Прямые \(AB\) и \(AC\) — касательные к окружности с центром \(O\), \(B\) и \(C\) — точки касания. Через произвольную точку \(X\), взятую на дуге \(BC\), проведена касательная к этой окружности, пересекающая отрезки \(AB\) и \(AC\) в точках \(M\) и \(N\). Докажите, что периметр треугольника \(AMN\) и величина угла \(\angle MON\) не зависят от выбора точки \(X\) на дуге \(BC\).
Дано: окружность \((O; r)\), \(X \in BC\), \(X \in l\), \(AC\) и \(BC\) — касательные, \(AB \cap l = M\), \(AC \cap l = N\).
Доказать: \(P_{AMN}\), \(\angle MON\) не зависят от точки \(X\).
Решение:
1. Периметр треугольника \(P_{AMN}\) выражается как сумма сторон:
\[
P_{AMN} = AM + AN + MN.
\]
2. По свойству касательных:
\[
BM = MX, \quad XN = NC.
\]
3. Подставим в выражение для периметра:
\[
P_{AMN} = AM + AN + MX + XN = AM + AN + BM + NC = AB + AC.
\]
Таким образом, \(P_{AMN}\) не зависит от точки \(X\).
4. Угол \(\angle MON\) разбивается на сумму углов:
\[
\angle MON = \angle MOX + \angle XON.
\]
5. Рассмотрим треугольники \(\triangle BOM\) и \(\triangle MOX\):
\[
BM = MX, \quad MO \text{ — общая гипотенуза}.
\]
Следовательно, \(\triangle BOM = \triangle MOX\) (по гипотенузе и катету), отсюда:
\[
\angle MOX = \angle BOM.
\]
6. Рассмотрим треугольники \(\triangle NOX\) и \(\triangle NOC\):
\[
XN = NC, \quad NO \text{ — общая гипотенуза}.
\]
Следовательно, \(\triangle NOX = \triangle NOC\) (по гипотенузе и катету), отсюда:
\[
\angle XON = \angle NOC.
\]
7. Подставим в выражение для угла:
\[
\angle MON = \angle BOM + \angle NOC.
\]
Таким образом, \(\angle MON\) не зависит от точки \(X\), что и требовалось доказать.
Дано: окружность \((O; r)\), \(X \in BC\), \(X \in l\), \(AC\) и \(BC\) — касательные, \(AB \cap l = M\), \(AC \cap l = N\).
Доказать: \(P_{AMN}\), \(\angle MON\) не зависят от точки \(X\).
Решение:
1. Рассмотрим периметр треугольника \(P_{AMN}\). Периметр выражается как сумма длин сторон:
\[
P_{AMN} = AM + AN + MN.
\]
2. По свойству касательных к окружности из одной точки:
\[
BM = MX, \quad XN = NC.
\]
Это следует из того, что длины отрезков касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны.
3. Выразим \(MN\) через \(MX\) и \(XN\):
\[
MN = MX + XN.
\]
Подставим это в формулу для периметра:
\[
P_{AMN} = AM + AN + MX + XN.
\]
4. Переставим слагаемые:
\[
P_{AMN} = AM + AN + BM + NC.
\]
Так как \(BM + AM = AB\) и \(NC + AN = AC\), то:
\[
P_{AMN} = AB + AC.
\]
Таким образом, периметр треугольника \(P_{AMN}\) равен сумме длин касательных \(AB\) и \(AC\), которые не зависят от точки \(X\).
5. Теперь докажем, что угол \(\angle MON\) не зависит от точки \(X\). Угол \(\angle MON\) можно представить как сумму двух углов:
\[
\angle MON = \angle MOX + \angle XON.
\]
6. Рассмотрим треугольники \(\triangle BOM\) и \(\triangle MOX\). В этих треугольниках:
\[
BM = MX, \quad MO \text{ — общая гипотенуза}.
\]
Следовательно, треугольники равны (\(\triangle BOM = \triangle MOX\)) по гипотенузе и катету. Из равенства треугольников следует равенство углов:
\[
\angle MOX = \angle BOM.
\]
7. Аналогично рассмотрим треугольники \(\triangle NOX\) и \(\triangle NOC\). В этих треугольниках:
\[
XN = NC, \quad NO \text{ — общая гипотенуза}.
\]
Следовательно, треугольники равны (\(\triangle NOX = \triangle NOC\)) по гипотенузе и катету. Из равенства треугольников следует равенство углов:
\[
\angle XON = \angle NOC.
\]
8. Подставим полученные равенства углов в выражение для \(\angle MON\):
\[
\angle MON = \angle BOM + \angle NOC.
\]
Так как углы \(\angle BOM\) и \(\angle NOC\) не зависят от точки \(X\), то и угол \(\angle MON\) не зависит от точки \(X\).
Ответ: периметр треугольника \(P_{AMN}\) и угол \(\angle MON\) не зависят от точки \(X\).
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.