Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 712 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что касательные, проведённые через концы хорды, не являющейся диаметром окружности, пересекаются.
Дано: окружность \((O; r)\), \(AB\) — хорда, \(AC\), \(BC\) — касательные.
Доказательство:
1. \(AO = OB = r\), значит \(\triangle ABO\) — равнобедренный, и \(\angle OAB = \angle OBA = \alpha\).
2. \(\angle AOB = 180^\circ — (\angle OAB + \angle OBA) = 180^\circ — 2\alpha\).
3. \(\angle AOB = \widehat{AB}\) (центральный угол).
4. \(AC \perp AO\), так как \(AC\) — касательная, следовательно, \(\angle CAB = 90^\circ — \alpha\).
5. \(\angle AOB = 180^\circ — 2\alpha\), а \(\angle CAB = 90^\circ — \alpha\), значит \(\angle CAB = \frac{1}{2} \cdot \angle AOB = \frac{1}{2} \cdot \widehat{AB}\).
6. \(BC \perp OB\), так как \(BC\) — касательная, следовательно, \(\angle CBA = 90^\circ — \alpha\).
7. \(\angle CAB = \angle CBA = \frac{1}{2} \cdot \widehat{AB}\), а так как \(\widehat{AB} < 180^\circ\), то \(\angle CAB = \angle CBA < 90^\circ\).
8. Следовательно, \(AC \cap BC = C\), что и требовалось доказать.
Дано: окружность \((O; r)\), \(AB\) — хорда, \(AC\) и \(BC\) — касательные к окружности. Требуется доказать, что \(AC \cap BC = C\), то есть точки пересечения касательных совпадают с точкой \(C\).
Рассмотрим доказательство по шагам.
1. Радиусы \(OA\) и \(OB\) равны, так как они проведены к точкам \(A\) и \(B\) на окружности. Следовательно, треугольник \(\triangle OAB\) равнобедренный. Углы при основании равны: \(\angle OAB = \angle OBA = \alpha\).
2. Угол при вершине треугольника \(\triangle OAB\) равен \(\angle AOB = 180^\circ — (\angle OAB + \angle OBA) = 180^\circ — 2\alpha\). Этот угол является центральным углом, опирающимся на дугу \(\widehat{AB}\). Таким образом, \(\angle AOB = \widehat{AB}\).
3. Так как \(AC\) — касательная к окружности в точке \(A\), то она перпендикулярна радиусу \(OA\), проведенному к точке касания. Следовательно, \(\angle CAB = 90^\circ — \alpha\).
4. Аналогично, \(BC\) — касательная к окружности в точке \(B\), поэтому она перпендикулярна радиусу \(OB\). Следовательно, \(\angle CBA = 90^\circ — \alpha\).
5. Углы \(\angle CAB\) и \(\angle CBA\) равны, так как \(\angle CAB = 90^\circ — \alpha\) и \(\angle CBA = 90^\circ — \alpha\). Оба этих угла равны половине центрального угла \(\angle AOB\), то есть \(\angle CAB = \angle CBA = \frac{1}{2} \cdot \angle AOB = \frac{1}{2} \cdot \widehat{AB}\).
6. Так как сумма углов \(\angle CAB + \angle CBA\) меньше \(90^\circ + 90^\circ = 180^\circ\), то касательные \(AC\) и \(BC\) пересекаются. Точка пересечения этих касательных обозначена как \(C\).
7. Таким образом, точка пересечения \(AC\) и \(BC\) совпадает с точкой \(C\), что и требовалось доказать.
Ответ: доказано, что \(AC \cap BC = C\).
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.