ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 710 Атанасян — Подробные Ответы

Докажите, что если около трапеции можно описать окружность, то эта трапеция равнобедренная.

Дано: ABCD — трапеция, вписанная в окружность.

Доказательство:
1. По свойству вписанного четырехугольника:
\(\angle A + \angle C = 180^\circ, \quad \angle B + \angle D = 180^\circ.\)

2. Поскольку ABCD — трапеция (\(AD \parallel BC\)), то односторонние углы:
\(\angle A + \angle B = 180^\circ, \quad \angle C + \angle D = 180^\circ.\)

3. Из равенства:
\(\angle A + \angle C = 180^\circ \quad \text{и} \quad \angle A + \angle B = 180^\circ,\)
следует, что:
\(\angle C = \angle B.\)

4. Аналогично из равенства:
\(\angle B + \angle A = 180^\circ \quad \text{и} \quad \angle C + \angle D = 180^\circ,\)
следует, что:
\(\angle A = \angle D.\)

Таким образом, ABCD — равнобедренная трапеция.

Дано: ABCD — трапеция, вписанная в окружность.

Доказательство:

1. Трапеция ABCD вписана в окружность, а значит, она является вписанным четырехугольником. Для любого вписанного четырехугольника сумма противоположных углов равна \(180^\circ\). Следовательно:
\(\angle A + \angle C = 180^\circ,\)
\(\angle B + \angle D = 180^\circ.\)

2. Поскольку ABCD — трапеция, то \(AD \parallel BC\). В трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, также равна \(180^\circ\) (это односторонние углы при параллельных прямых). Таким образом:
\(\angle A + \angle B = 180^\circ,\)
\(\angle C + \angle D = 180^\circ.\)

3. Рассмотрим два равенства:
\(\angle A + \angle C = 180^\circ \quad \text{и} \quad \angle A + \angle B = 180^\circ.\)
Вычтем из второго равенства первое:
\((\angle A + \angle B) — (\angle A + \angle C) = 180^\circ — 180^\circ.\)
После упрощения получаем:
\(\angle B = \angle C.\)

4. Аналогично рассмотрим два других равенства:
\(\angle B + \angle A = 180^\circ \quad \text{и} \quad \angle C + \angle D = 180^\circ.\)
Вычтем из второго равенства первое:
\((\angle C + \angle D) — (\angle B + \angle A) = 180^\circ — 180^\circ.\)
После упрощения получаем:
\(\angle A = \angle D.\)

5. Таким образом, в трапеции ABCD боковые углы равны:
\(\angle B = \angle C \quad \text{и} \quad \angle A = \angle D.\)
Это означает, что боковые стороны трапеции равны по свойству равнобедренной трапеции.

Следовательно, ABCD — равнобедренная трапеция, что и требовалось доказать.