ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 709 Атанасян — Подробные Ответы

Докажите, что если около параллелограмма можно описать окружность, то этот параллелограмм — прямоугольник.

Дано: ABCD — параллелограмм, вписан в окружность.

Доказательство:
ABCD — вписанный четырехугольник, поэтому:
\(\angle A + \angle C = 180^\circ\)
и
\(\angle B + \angle D = 180^\circ\).

ABCD — параллелограмм, следовательно:
\(\angle A = \angle C = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ\)
и
\(\angle B = \angle D = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ\).

Таким образом, ABCD — прямоугольник.

Дано: ABCD — параллелограмм, вписан в окружность.

Доказательство:
1. Поскольку ABCD является вписанным четырехугольником, то сумма противоположных углов равна \(180^\circ\). Это свойство любого вписанного четырехугольника. Следовательно:
\(\angle A + \angle C = 180^\circ\)
и
\(\angle B + \angle D = 180^\circ\).

2. ABCD — параллелограмм, а у параллелограмма противоположные углы равны. То есть:
\(\angle A = \angle C\)
и
\(\angle B = \angle D\).

3. Из первого пункта (\(\angle A + \angle C = 180^\circ\)) и второго пункта (\(\angle A = \angle C\)) следует:
\(\angle A = \angle C = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ\).

4. Аналогично из второго свойства (\(\angle B = \angle D\)) и первого пункта (\(\angle B + \angle D = 180^\circ\)) следует:
\(\angle B = \angle D = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ\).

5. Таким образом, все углы параллелограмма ABCD равны \(90^\circ\), что означает, что ABCD является прямоугольником.

Ответ: ABCD — прямоугольник.