ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 706 Атанасян — Подробные Ответы

Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружности равен \( 10 \, \text{см} \).

Дано: \( \triangle ABC \) — равносторонний, вписанный в окружность, радиус окружности \( r = 10 \, \text{см} \).

Так как треугольник равносторонний, его высота, медиана и биссектриса совпадают. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle AOH \), где \( AO = r = 10 \, \text{см} \), угол \( \angle OAH = 30^\circ \).

Высота \( AH \) находится по формуле:
\(
AH = AO \cdot \cos 30^\circ = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \, \text{см}.
\)

Сторона \( AB \) равна удвоенной высоте:
\(
AB = 2 \cdot AH = 2 \cdot 5\sqrt{3} = 10\sqrt{3} \, \text{см}.
\)

Ответ: \( AB = 10\sqrt{3} \, \text{см} \).

Дано: \( \triangle ABC \) — равносторонний, вписанный в окружность, радиус окружности \( r = 10 \, \text{см} \). Необходимо найти длину стороны \( AB \).

1. Так как треугольник \( \triangle ABC \) равносторонний, его стороны равны:
\(
AB = BC = AC.
\)

Кроме того, высота \( BH \), медиана и биссектриса \( AO \) совпадают, так как треугольник равносторонний.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle AOH \), в котором:
\(
\angle OAH = \frac{\angle A}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ.
\)

Из условия известно, что радиус окружности \( AO = r = 10 \, \text{см} \).

3. По определению косинуса, высота \( AH \) выражается через радиус \( AO \) и угол \( \angle OAH \):
\(
AH = AO \cdot \cos \angle OAH.
\)

Подставим значения:
\(
AH = 10 \cdot \cos 30^\circ = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}.
\)

Упростим выражение:
\(
AH = 5\sqrt{3} \, \text{см}.
\)

4. Так как треугольник равносторонний, сторона \( AB \) состоит из двух высот \( AH \) и \( HC \), которые равны между собой:
\(
AB = AH + HC = 2 \cdot AH.
\)

Подставим значение высоты:
\(
AB = 2 \cdot 5\sqrt{3} = 10\sqrt{3} \, \text{см}.
\)

Ответ: \( AB = 10\sqrt{3} \, \text{см} \).