ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 704 Атанасян — Подробные Ответы

Окружность с центром \( O \) описана около прямоугольного треугольника.  

а) Докажите, что точка \( O \) — середина гипотенузы.  

б) Найдите стороны треугольника, если диаметр окружности равен \( d \), а один из острых углов треугольника равен \( c \).

Дано:
\(\triangle ABC\) — прямоугольный, вписан в окружность.
\(\angle C = 90^\circ\).
\(AB = d\).
\(\angle CAB = \alpha\).

а) Так как \(\angle C = 90^\circ\), то \(\overset{\frown}{AB} = 180^\circ\) (по свойству вписанного угла). Следовательно, \(\angle C\) опирается на диаметр окружности, и \(AO = OB = r\).

б) Используем тригонометрические соотношения:
\(
BC = d \cdot \sin \alpha, \quad AC = d \cdot \cos \alpha.
\)

Ответ:
\(AB = d\),
\(BC = d \cdot \sin \alpha\),
\(AC = d \cdot \cos \alpha\).

Дано:
\(\triangle ABC\) — прямоугольный, вписан в окружность.
\(\angle C = 90^\circ\).
\(AB = d\).
\(\angle CAB = \alpha\).

а) Докажем, что \(AO = OB\).
Поскольку \(\angle C = 90^\circ\), то дуга \(\overset{\frown}{AB} = 180^\circ\) (по свойству вписанного угла). Это означает, что \(\angle C\) опирается на диаметр окружности. Следовательно, \(AO = OB = r\), где \(r\) — радиус окружности. Таким образом, доказано, что \(AO = OB\).

б) Найдем \(BC\) и \(AC\) через тригонометрические функции:
Для стороны \(BC\):
\(
\sin \alpha = \frac{BC}{AB}.
\)
Так как \(AB = d\), то
\(
BC = d \cdot \sin \alpha.
\)

Для стороны \(AC\):
\(
\cos \alpha = \frac{AC}{AB}.
\)
Так как \(AB = d\), то
\(
AC = d \cdot \cos \alpha.
\)

Ответ:
\(AB = d\),
\(BC = d \cdot \sin \alpha\),
\(AC = d \cdot \cos \alpha\).