Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 703 Атанасян — Подробные Ответы
В окружность вписан равнобедренный треугольник \( ABC \) с основанием \( BC \). Найдите углы треугольника, если \( \angle BSC = 102^\circ \).
Дано:
\(\triangle ABC\) вписан в окружность, \(AB\) — диаметр, дуга \(\overset{\frown}{BC} = 102^\circ\).
Найти:
а) \(\angle ABC\), \(\angle ACB\), \(\angle BAC\);
б) \(\angle BCA’\), \(\angle CBA’\), \(\angle BA’C\).
Решение:
а)
Вписанный угол \(\angle BAC\), опирающийся на дугу \(\overset{\frown}{BC}\):
\[
\angle BAC = \frac{1}{2} \cdot \overset{\frown}{BC} = \frac{102}{2} = 51^\circ.
\]
Углы \(\angle ABC\) и \(\angle ACB\) равны, так как \(\triangle ABC\) равнобедренный:
\[
\angle ABC = \angle ACB = \frac{180^\circ — \angle BAC}{2} = \frac{180^\circ — 51^\circ}{2} = \frac{129^\circ}{2} = 64^\circ 30′.
\]
б)
Дуга \(\overset{\frown}{BC}’\), на которую опирается угол \(\angle BA’C\):
\[
\overset{\frown}{BC}’ = 360^\circ — \overset{\frown}{BC} = 360^\circ — 102^\circ = 258^\circ.
\]
Вписанный угол \(\angle BA’C\):
\[
\angle BA’C = \frac{1}{2} \cdot \overset{\frown}{BC}’ = \frac{258}{2} = 129^\circ.
\]
Углы \(\angle BCA’\) и \(\angle CBA’\) равны, так как \(\triangle ABC\) равнобедренный:
\[
\angle BCA’ = \angle CBA’ = \frac{180^\circ — \angle BA’C}{2} = \frac{180^\circ — 129^\circ}{2} = \frac{51^\circ}{2} = 25^\circ 30′.
\]
Ответ:
а) \(\angle BAC = 51^\circ\), \(\angle ABC = \angle ACB = 64^\circ 30’\);
б) \(\angle BA’C = 129^\circ\), \(\angle BCA’ = \angle CBA’ = 25^\circ 30’\).
Дано:
Треугольник \( \triangle ABC \) вписан в окружность.
\( AB \) — диаметр окружности.
Дуга \( \overset{\frown}{BC} \) равна \( 102^\circ \).
Найти:
а) углы \( \angle ABC \), \( \angle ACB \), \( \angle BAC \);
б) углы \( \angle BCA’ \), \( \angle CBA’ \), \( \angle BA’C \).
Решение:
а)
Вписанный угол \( \angle BAC \) опирается на дугу \( \overset{\frown}{BC} \). Вписанный угол, опирающийся на дугу окружности, равен половине величины этой дуги. Следовательно:
\[
\angle BAC = \frac{1}{2} \cdot \overset{\frown}{BC} = \frac{102}{2} = 51^\circ.
\]
Треугольник \( \triangle ABC \) является равнобедренным, так как стороны \( AB \) и \( AC \) являются радиусами окружности (диаметр делит окружность на два равных радиуса). Следовательно, углы \( \angle ABC \) и \( \angle ACB \) равны. Используем свойство треугольника: сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \). Найдем величину углов \( \angle ABC \) и \( \angle ACB \):
\[
\angle ABC = \angle ACB = \frac{180^\circ — \angle BAC}{2} = \frac{180^\circ — 51^\circ}{2} = \frac{129^\circ}{2}.
\]
Выполним деление:
\[
\angle ABC = \angle ACB = 64^\circ \, 30′.
\]
б)
Рассмотрим угол \( \angle BA’C \), который опирается на дугу \( \overset{\frown}{BC}’ \). Дуга \( \overset{\frown}{BC}’ \) равна:
\[
\overset{\frown}{BC}’ = 360^\circ — \overset{\frown}{BC} = 360^\circ — 102^\circ = 258^\circ.
\]
Вписанный угол \( \angle BA’C \), опирающийся на дугу \( \overset{\frown}{BC}’ \), равен половине величины дуги:
\[
\angle BA’C = \frac{1}{2} \cdot \overset{\frown}{BC}’ = \frac{258}{2} = 129^\circ.
\]
Теперь найдем углы \( \angle BCA’ \) и \( \angle CBA’ \). Треугольник \( \triangle BA’C \) равнобедренный (стороны \( AB \) и \( AC \) — радиусы окружности). Следовательно, углы \( \angle BCA’ \) и \( \angle CBA’ \) равны. Используем свойство треугольника: сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \). Найдем величину углов \( \angle BCA’ \) и \( \angle CBA’ \):
\[
\angle BCA’ = \angle CBA’ = \frac{180^\circ — \angle BA’C}{2} = \frac{180^\circ — 129^\circ}{2} = \frac{51^\circ}{2}.
\]
Выполним деление:
\[
\angle BCA’ = \angle CBA’ = 25^\circ \, 30′.
\]
Ответ:
а) \( \angle BAC = 51^\circ \), \( \angle ABC = \angle ACB = 64^\circ \, 30′ \);
б) \( \angle BA’C = 129^\circ \), \( \angle BCA’ = \angle CBA’ = 25^\circ \, 30′. \)
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.