ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 698 Атанасян — Подробные Ответы

Сумма двух противоположных сторон описанного четырёхугольника равна \( 12 \, \text{см} \), а радиус вписанной в него окружности равен \( 5 \, \text{см} \). Найдите площадь четырёхугольника.

Дано: \(ABCD\) — четырёхугольник, радиус вписанной окружности \(r = 5 \, \text{см}\), сумма противоположных сторон \(AB + CD = 12\).

Решение:
Площадь четырёхугольника, в который можно вписать окружность, вычисляется по формуле:
\(
S_{ABCD} = \frac{1}{2} r (AB + BC + CD + AD).
\)
Так как \(AB + CD = BC + AD\), то:
\(
S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot (12 + 12).
\)
\(
S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 24 = \frac{120}{2} = 60 \, \text{см}^2.
\)

Ответ: \(S_{ABCD} = 60 \, \text{см}^2\).

Дано: \(ABCD\) — четырёхугольник, радиус вписанной окружности \(r = 5 \, \text{см}\), сумма противоположных сторон \(AB + CD = 12\).

Решение:

1) В четырёхугольник \(ABCD\) можно вписать окружность. Это означает, что сумма длин противоположных сторон равна:
\(
AB + CD = BC + AD.
\)

2) Площадь четырёхугольника \(ABCD\), в который можно вписать окружность, вычисляется как сумма площадей треугольников, на которые он разбивается диагоналями, проходящими через центр окружности. Формула площади каждого треугольника:
\(
S = \frac{1}{2} \cdot сторона \cdot радиус.
\)
Следовательно:
\(
S_{ABCD} = S_{AOB} + S_{BCO} + S_{COD} + S_{AOD}.
\)

Подставим формулы площадей треугольников:
\(
S_{ABCD} = \frac{1}{2} AB \cdot r + \frac{1}{2} BC \cdot r + \frac{1}{2} CD \cdot r + \frac{1}{2} AD \cdot r.
\)

Вынесем общий множитель \(r\):
\(
S_{ABCD} = \frac{1}{2} r (AB + BC + CD + AD).
\)

Так как \(AB + CD = BC + AD\), то:
\(
AB + BC + CD + AD = 2 \cdot (AB + CD).
\)

Подставим значение \(AB + CD = 12\):
\(
S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot (12 + 12).
\)

Выполним вычисления:
\(
S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 24 = \frac{120}{2} = 60 \, \text{см}^2.
\)

Ответ: \(S_{ABCD} = 60 \, \text{см}^2\).