ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 696 Атанасян — Подробные Ответы

Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность, то этот параллелограмм — ромб.

Дано: \(ABCD\) — параллелограмм.

Решение:
Если в параллелограмм можно вписать окружность, то по свойству вписанной окружности выполняется равенство:
\(
AB + CD = BC + AD.
\)

В параллелограмме противоположные стороны равны, то есть \(AB = CD\) и \(BC = AD\). Подставим эти равенства в условие:
\(
AB + AB = BC + BC.
\)

Упростим:
\(
2AB = 2BC.
\)

Разделим обе части на \(2\):
\(
AB = BC.
\)

Таким образом, все стороны параллелограмма равны:
\(
AB = BC = CD = AD.
\)

Следовательно, параллелограмм \(ABCD\) является ромбом.

Дано: \(ABCD\) — параллелограмм.
Требуется доказать, что \(ABCD\) — ромб.

Решение:

1. Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то сумма противоположных сторон равна:
\(
AB + CD = BC + AD.
\)
Это свойство выпуклого четырёхугольника, в который можно вписать окружность.

2. В параллелограмме противоположные стороны равны:
\(
AB = CD \quad \text{и} \quad BC = AD.
\)

3. Подставляем равенство сторон параллелограмма в свойство вписанной окружности:
\(
AB + CD = BC + AD \quad \text{следовательно,} \quad a + a = b + b,
\)
где \(AB = CD = a\) и \(BC = AD = b\).

4. Упрощаем выражение:
\(
2a = 2b \quad \text{отсюда следует, что} \quad a = b.
\)

5. Так как \(a = b\), то все стороны параллелограмма равны:
\(
AB = BC = CD = AD.
\)

6. Если все стороны параллелограмма равны, то он является ромбом по определению.

Ответ: \(ABCD\) — ромб.