Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 693 Атанасян — Подробные Ответы
В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса \( r \). Найдите периметр треугольника, если:
а) гипотенуза равна \( 26 \, \text{см} \), \( r = 4 \, \text{см} \);
б) точка касания делит гипотенузу на отрезки, равные \( 5 \, \text{см} \) и \( 12 \, \text{см} \).
Дано:
\(\triangle ABC\) — прямоугольный, \(\angle C = 90^\circ\);
а) \(AB = 26 \, \text{см}\), \(r = 4 \, \text{см}\);
б) \(AD = 5 \, \text{см}\), \(DB = 12 \, \text{см}\).
Найти: \(P_{ABC}\).
Решение:
а)
Четырехугольник \(FOEC\) — квадрат, следовательно, \(FC = CE = OE = FO = 4 \, \text{см}\).
По теореме о касательных: \(AF = AD\), \(BD = BE\).
Сторона \(AB = AD + DB = 26 \, \text{см}\).
Периметр \(\triangle ABC\):
\[
P_{ABC} = AB + BC + AC = AB + CE + EB + AF + FC = 26 + 4 + 4 + 4 + 26 = 60 \, \text{см}.
\]
б)
Сторона \(AB = AD + DB = 5 + 12 = 17 \, \text{см}\).
По теореме о касательных: \(AF = AD = 5 \, \text{см}\), \(BD = BE = 12 \, \text{см}\).
\[
AC = AF + r = 5 + r, \quad BC = BE + r = 12 + r.
\]
По теореме Пифагора:
\[
(5 + r)^2 + (12 + r)^2 = 17^2.
\]
Раскрываем скобки:
\[
25 + 10r + r^2 + 144 + 24r + r^2 = 289.
\]
Объединяем подобные:
\[
2r^2 + 34r — 120 = 0.
\]
Упростим уравнение:
\[
r^2 + 17r — 60 = 0.
\]
Решаем квадратное уравнение:
\[
r = 3 \, \text{см}.
\]
Тогда:
\[
AC = 5 + 3 = 8 \, \text{см}, \quad BC = 12 + 3 = 15 \, \text{см}.
\]
Периметр \(\triangle ABC\):
\[
P_{ABC} = AB + BC + AC = 17 + 15 + 8 = 40 \, \text{см}.
\]
Ответ:
а) \(60 \, \text{см}\);
б) \(40 \, \text{см}\).
Дано:
\(\triangle ABC\) — прямоугольный, \(\angle C = 90^\circ\);
а) \(AB = 26 \, \text{см}\), \(r = 4 \, \text{см}\);
б) \(AD = 5 \, \text{см}\), \(DB = 12 \, \text{см}\).
Найти: \(P_{ABC}\).
Решение:
а)
1. Рассмотрим четырехугольник \(FOEC\), вписанный в окружность. Углы \(FOEC\) равны \(90^\circ\), а стороны \(FO = OE\), \(FC = CE\). Следовательно, \(FOEC\) — квадрат. Его стороны равны радиусу окружности: \(FC = CE = OE = FO = r = 4 \, \text{см}\).
2. По теореме о касательных к окружности: \(AF = AD\), \(BD = BE\).
3. Сторона \(AB\) равна сумме отрезков \(AD\) и \(DB\):
\[
AB = AD + DB = 26 \, \text{см}.
\]
4. Периметр треугольника \(ABC\) равен:
\[
P_{ABC} = AB + BC + AC.
\]
Стороны \(BC\) и \(AC\) можно выразить через радиус окружности и отрезки \(AD\) и \(DB\):
\[
BC = BE + CE, \quad AC = AF + FC.
\]
Подставляем значения:
\[
BC = BD + r = 4 + 4 = 8 \, \text{см}, \quad AC = AD + r = 26 + 4 = 30 \, \text{см}.
\]
Теперь считаем периметр:
\[
P_{ABC} = AB + BC + AC = 26 + 8 + 30 = 60 \, \text{см}.
\]
б)
1. Сторона \(AB\) равна сумме отрезков \(AD\) и \(DB\):
\[
AB = AD + DB = 5 + 12 = 17 \, \text{см}.
\]
2. По теореме о касательных к окружности: \(AF = AD = 5 \, \text{см}\), \(BD = BE = 12 \, \text{см}\).
3. Стороны \(AC\) и \(BC\) выражаются через радиус окружности:
\[
AC = AF + r = 5 + r, \quad BC = BE + r = 12 + r.
\]
4. Используем теорему Пифагора для нахождения радиуса \(r\):
\[
AC^2 + BC^2 = AB^2.
\]
Подставляем выражения для \(AC\) и \(BC\):
\[
(5 + r)^2 + (12 + r)^2 = 17^2.
\]
Раскрываем скобки:
\[
25 + 10r + r^2 + 144 + 24r + r^2 = 289.
\]
Объединяем подобные:
\[
2r^2 + 34r + 169 = 289.
\]
Упрощаем уравнение:
\[
2r^2 + 34r — 120 = 0.
\]
Делим обе части на 2:
\[
r^2 + 17r — 60 = 0.
\]
Решаем квадратное уравнение через дискриминант:
\[
D = 17^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 289 + 240 = 529.
\]
Корни уравнения:
\[
r_1 = \frac{-17 + \sqrt{529}}{2} = \frac{-17 + 23}{2} = 3, \quad r_2 = \frac{-17 — \sqrt{529}}{2} = \frac{-17 — 23}{2} = -20.
\]
Так как радиус окружности \(r > 0\), то \(r = 3 \, \text{см}\).
5. Подставляем значение радиуса:
\[
AC = 5 + 3 = 8 \, \text{см}, \quad BC = 12 + 3 = 15 \, \text{см}.
\]
6. Периметр треугольника \(ABC\):
\[
P_{ABC} = AB + BC + AC = 17 + 15 + 8 = 40 \, \text{см}.
\]
Ответ:
а) \(60 \, \text{см}\);
б) \(40 \, \text{см}\).
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.