ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 692 Атанасян — Подробные Ответы

В треугольник \( ABC \) вписана окружность, которая касается сторон \( AB \), \( BC \) и \( CA \) в точках \( P \), \( Q \) и \( R \). Найдите \( AP \), \( PB \), \( BQ \), \( QC \), \( CR \), \( RA \), если \( AB = 10 \, \text{см} \), \( BC = 12 \, \text{см} \), \( CA = 5 \, \text{см} \).

Дано:
\(\triangle ABC\);
\(AB = 10 \, \text{см}\);
\(BC = 12 \, \text{см}\);
\(CA = 5 \, \text{см}\).

По свойству касательных:
\(AD = AE\), \(EB = BF\), \(FC = CD\).

Пусть \(EB = x\), тогда \(AE = 10 — x\), \(FC = 12 — x\).
Сторона \(AC\) выражается через сумму:
\(
AC = AD + DC = AE + FC.
\)
Подставляем значения:
\(
5 = (10 — x) + (12 — x).
\)
Объединяем подобные:
\(
2x = 17, \quad x = 8,5.
\)

Таким образом:
\(
EB = BF = 8,5 \, \text{см},
\)
\(
AE = AD = 10 — 8,5 = 1,5 \, \text{см},
\)
\(
CD = FC = 12 — 8,5 = 3,5 \, \text{см}.
\)

Ответ:
\(CD = FC = 3,5 \, \text{см}\), \(AE = AD = 1,5 \, \text{см}\), \(EB = BF = 8,5 \, \text{см}\).

Дано:
\(\triangle ABC\);
\(AB = 10 \, \text{см}\);
\(BC = 12 \, \text{см}\);
\(CA = 5 \, \text{см}\).

Найти: \(AD, AE, EB, BF, FC, CD\).

Решение:
Согласно свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности:
\(
AD = AE, \quad EB = BF, \quad FC = CD.
\)

Обозначим длину \(EB\) через \(x\). Тогда:
\(
AE = AB — EB = 10 — x,
\)
\(
FC = BC — EB = 12 — x.
\)

Сторона \(AC\) выражается как сумма двух отрезков:
\(
AC = AD + DC = AE + FC.
\)

Подставим выражения для \(AE\) и \(FC\):
\(
5 = (10 — x) + (12 — x).
\)

Сгруппируем подобные члены:
\(
5 = 22 — 2x.
\)

Решим уравнение:
\(
2x = 22 — 5,
\)
\(
2x = 17,
\)
\(
x = \frac{17}{2} = 8 \, \frac{1}{2}.
\)

Таким образом:
\(
EB = BF = x = 8 \, \frac{1}{2} \, \text{см}.
\)

Найдем \(AE\):
\(
AE = AD = 10 — x = 10 — 8 \, \frac{1}{2} = 1 \, \frac{1}{2} \, \text{см}.
\)

Найдем \(CD\):
\(
CD = FC = 12 — x = 12 — 8 \, \frac{1}{2} = 3 \, \frac{1}{2} \, \text{см}.
\)

Ответ:
\(CD = FC = 3 \, \frac{1}{2} \, \text{см}\), \(AE = AD = 1 \, \frac{1}{2} \, \text{см}\), \(EB = BF = 8 \, \frac{1}{2} \, \text{см}\).