ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 690 Атанасян — Подробные Ответы

Найдите основание равнобедренного треугольника, если центр вписанной в него окружности делит высоту, проведённую к основанию, в отношении \( 12 : 5 \), считая от вершины, а боковая сторона равна \( 60 \, \text{см} \).

Дано:
\(\triangle ABC\) — равносторонний;
\(AB = BC = 60\);
\(BO : OH = 12 : 5\);
\(BH \perp AC\).
Найти: \(AC\).

Решение:

Рассмотрим \(\triangle ABH\) и \(\triangle BMO\). Они прямоугольные, \(\angle BMO = \angle BHA = 90^\circ\), \(\angle ABH\) общий. Следовательно, \(\triangle ABH \sim \triangle BMO\) (по двум углам). Из подобия треугольников:
\(
\frac{AH}{OM} = \frac{AB}{BO}.
\)

Пусть \(BO = 12x\), тогда \(OH = 5x\). Используем пропорцию:
\(
\frac{AH}{5x} = \frac{60}{12x}.
\)

Решаем уравнение:
\(
AH = \frac{60 \cdot 5x}{12x}.
\)

Сокращаем:
\(
AH = \frac{300x}{12x} = 25 \, \text{см}.
\)

Так как \(AC = AH + HC = 2AH\) (по свойству медианы, биссектрисы и высоты в равнобедренном треугольнике), то:
\(
AC = 2 \cdot 25 = 50 \, \text{см}.
\)

Ответ:
\(AC = 50 \, \text{см}\).

Дано:
\(\triangle ABC\) — равносторонний;
\(AB = BC = 60\);
\(BO : OH = 12 : 5\);
\(BH \perp AC\).
Найти: \(AC\).

1. Рассмотрим треугольники \(\triangle ABH\) и \(\triangle BMO\).
Они прямоугольные, так как \(\angle BHA = 90^\circ\) и \(\angle BMO = 90^\circ\). Угол \(\angle ABH\) общий для обоих треугольников. Следовательно, треугольники \(\triangle ABH\) и \(\triangle BMO\) подобны по двум углам.

Из подобия следует, что отношения соответствующих сторон равны:
\(
\frac{AH}{OM} = \frac{BH}{BM} = \frac{AB}{BO}.
\)

2. По условию задачи \(BO : OH = 12 : 5\). Пусть \(BO = 12x\), тогда \(OH = 5x\), а высота \(BH\) равна \(BO + OH\):
\(
BH = BO + OH = 12x + 5x = 17x.
\)

3. Подставим известные значения в пропорцию. Нам нужно найти \(AH\):
\(
\frac{AH}{OM} = \frac{AB}{BO}.
\)
Из условия \(AB = 60\), \(BO = 12x\), а \(OM = OH = 5x\) (так как \(O\) делит \(BH\) в отношении \(BO : OH\)). Подставляем:
\(
\frac{AH}{5x} = \frac{60}{12x}.
\)
Решим пропорцию:
\(
AH = \frac{60 \cdot 5x}{12x}.
\)
Сократим \(x\):
\(
AH = \frac{300}{12}.
\)
Выполним деление:
\(
AH = 25 \, \text{см}.
\)

4. В равностороннем треугольнике высота \(BH\) также является медианой, биссектрисой и высотой. Следовательно, точка \(H\) делит сторону \(AC\) пополам:
\(
AC = AH + HC = 2AH.
\)
Подставляем \(AH = 25\):
\(
AC = 2 \cdot 25 = 50 \, \text{см}.
\)

Ответ:
\(
AC = 50 \, \text{см}.
\)