Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 690 Атанасян — Подробные Ответы
Найдите основание равнобедренного треугольника, если центр вписанной в него окружности делит высоту, проведённую к основанию, в отношении \( 12 : 5 \), считая от вершины, а боковая сторона равна \( 60 \, \text{см} \).
Дано:
\(\triangle ABC\) — равносторонний;
\(AB = BC = 60\);
\(BO : OH = 12 : 5\);
\(BH \perp AC\).
Найти: \(AC\).
Решение:
Рассмотрим \(\triangle ABH\) и \(\triangle BMO\). Они прямоугольные, \(\angle BMO = \angle BHA = 90^\circ\), \(\angle ABH\) общий. Следовательно, \(\triangle ABH \sim \triangle BMO\) (по двум углам). Из подобия треугольников:
\[
\frac{AH}{OM} = \frac{AB}{BO}.
\]
Пусть \(BO = 12x\), тогда \(OH = 5x\). Используем пропорцию:
\[
\frac{AH}{5x} = \frac{60}{12x}.
\]
Решаем уравнение:
\[
AH = \frac{60 \cdot 5x}{12x}.
\]
Сокращаем:
\[
AH = \frac{300x}{12x} = 25 \, \text{см}.
\]
Так как \(AC = AH + HC = 2AH\) (по свойству медианы, биссектрисы и высоты в равнобедренном треугольнике), то:
\[
AC = 2 \cdot 25 = 50 \, \text{см}.
\]
Ответ:
\(AC = 50 \, \text{см}\).
Дано:
\(\triangle ABC\) — равносторонний;
\(AB = BC = 60\);
\(BO : OH = 12 : 5\);
\(BH \perp AC\).
Найти: \(AC\).
—
1. Рассмотрим треугольники \(\triangle ABH\) и \(\triangle BMO\).
Они прямоугольные, так как \(\angle BHA = 90^\circ\) и \(\angle BMO = 90^\circ\). Угол \(\angle ABH\) общий для обоих треугольников. Следовательно, треугольники \(\triangle ABH\) и \(\triangle BMO\) подобны по двум углам.
Из подобия следует, что отношения соответствующих сторон равны:
\[
\frac{AH}{OM} = \frac{BH}{BM} = \frac{AB}{BO}.
\]
—
2. По условию задачи \(BO : OH = 12 : 5\). Пусть \(BO = 12x\), тогда \(OH = 5x\), а высота \(BH\) равна \(BO + OH\):
\[
BH = BO + OH = 12x + 5x = 17x.
\]
—
3. Подставим известные значения в пропорцию. Нам нужно найти \(AH\):
\[
\frac{AH}{OM} = \frac{AB}{BO}.
\]
Из условия \(AB = 60\), \(BO = 12x\), а \(OM = OH = 5x\) (так как \(O\) делит \(BH\) в отношении \(BO : OH\)). Подставляем:
\[
\frac{AH}{5x} = \frac{60}{12x}.
\]
Решим пропорцию:
\[
AH = \frac{60 \cdot 5x}{12x}.
\]
Сократим \(x\):
\[
AH = \frac{300}{12}.
\]
Выполним деление:
\[
AH = 25 \, \text{см}.
\]
—
4. В равностороннем треугольнике высота \(BH\) также является медианой, биссектрисой и высотой. Следовательно, точка \(H\) делит сторону \(AC\) пополам:
\[
AC = AH + HC = 2AH.
\]
Подставляем \(AH = 25\):
\[
AC = 2 \cdot 25 = 50 \, \text{см}.
\]
—
Ответ:
\[
AC = 50 \, \text{см}.
\]
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.