Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 689 Атанасян — Подробные Ответы
В равнобедренном треугольнике основание равно \( 10 \, \text{см} \), а боковая сторона равна \( 13 \, \text{см} \). Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Дано:
\(\triangle ABC\) — равносторонний, угол \(\angle ABC = \frac{\pi}{6}\);
\(AC = 10 \, \text{см}\);
\(AB = BC = 13 \, \text{см}\).
Найти: \(r\) — радиус вписанной окружности.
Решение:
1) Рассмотрим \(\triangle ABM\) и \(\triangle BMO\) — прямоугольные:
\(\angle BMO = \angle BKA = 90^\circ\),
\(\angle ABK\) — общий угол,
значит, \(\triangle ABM \sim \triangle BMO\) (по двум углам), отсюда:
\[
\frac{BK}{BM} = \frac{AK}{MO} = \frac{AB}{BO}.
\]
2) Используем теорему Пифагора для \(\triangle ABK\):
\[
AB^2 = AK^2 + BK^2.
\]
Подставляем значения:
\[
169 = 25 + BK^2, \quad BK = \sqrt{144} = 12 \, \text{см}.
\]
3) Найдем \(OB\):
\[
OB = BK — r = 12 — r.
\]
4) Из подобия треугольников:
\[
\frac{AK}{OM} = \frac{AB}{BO}, \quad \frac{5}{r} = \frac{13}{12 — r}.
\]
Решаем уравнение:
\[
13r = 5(12 — r), \quad 13r = 60 — 5r, \quad 18r = 60.
\]
Находим \(r\):
\[
r = \frac{60}{18} = 3 \frac{1}{3} \, \text{см}.
\]
Ответ: \(r = 3 \frac{1}{3} \, \text{см}\).
Дано:
\(\triangle ABC\) — равносторонний, угол \(\angle ABC = \frac{\pi}{6}\);
\(AC = 10 \, \text{см}\);
\(AB = BC = 13 \, \text{см}\).
Найти: \(r\) — радиус вписанной окружности.
Решение:
1. Рассмотрим два треугольника \(\triangle ABM\) и \(\triangle BMO\). Оба треугольника прямоугольные, так как:
\[
\angle BMO = \angle BKA = 90^\circ.
\]
Кроме того, угол \(\angle ABK\) общий для обоих треугольников. Следовательно, треугольники \(\triangle ABM\) и \(\triangle BMO\) подобны по двум углам. Из подобия треугольников следует отношение сторон:
\[
\frac{BK}{BM} = \frac{AK}{MO} = \frac{AB}{BO}.
\]
2. Найдем длину \(BK\), используя теорему Пифагора для треугольника \(\triangle ABK\):
\[
AB^2 = AK^2 + BK^2.
\]
Подставляем известные значения:
\[
13^2 = 5^2 + BK^2, \quad 169 = 25 + BK^2.
\]
Вычислим \(BK^2\):
\[
BK^2 = 169 — 25 = 144, \quad BK = \sqrt{144} = 12 \, \text{см}.
\]
3. Найдем длину \(OB\), используя выражение:
\[
OB = BK — r.
\]
Подставляем значение \(BK\):
\[
OB = 12 — r.
\]
4. Используем подобие треугольников для нахождения радиуса \(r\):
\[
\frac{AK}{OM} = \frac{AB}{BO}.
\]
Подставляем известные значения:
\[
\frac{5}{r} = \frac{13}{12 — r}.
\]
Решим это уравнение:
\[
13r = 5(12 — r).
\]
Раскроем скобки:
\[
13r = 60 — 5r.
\]
Перенесем \(5r\) в левую часть:
\[
13r + 5r = 60, \quad 18r = 60.
\]
Найдем \(r\):
\[
r = \frac{60}{18} = 3 \frac{1}{3} \, \text{см}.
\]
Ответ:
Радиус вписанной окружности равен \(r = 3 \frac{1}{3} \, \text{см}\).
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.