Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 686 Атанасян — Подробные Ответы
Постройте серединный перпендикуляр к данному отрезку.
Решение:
Пусть \( AB \) — данный отрезок. Построим две окружности с центрами в точках \( A \) и \( B \) радиуса \( AB \) (рис. 230). Эти окружности пересекаются в двух точках \( M_1 \) и \( M_2 \). Отрезки \( AM_1 \), \( AM_2 \), \( BM_1 \), \( BM_2 \) равны друг другу как радиусы этих окружностей.
Проведём прямую \( M_1M_2 \). Она является искомым серединным перпендикуляром к отрезку \( AB \). В самом деле, точки \( M_1 \) и \( M_2 \) равноудалены от концов отрезка \( AB \), поэтому они лежат на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Значит, прямая \( M_1M_2 \) и есть серединный перпендикуляр к отрезку \( AB \).
Для построения серединного перпендикуляра к \(AB\):
1. Построим окружности с центрами в точках \(A\) и \(B\), радиус которых равен длине отрезка \(AB\).
2. Найдем точки пересечения этих окружностей \(M\) и \(M_1\).
3. Проведем прямую \(MM_1\), которая будет серединным перпендикуляром к \(AB\).
Дано: необходимо построить серединный перпендикуляр к отрезку \(AB\).
Решение:
1. Построим окружность с центром в точке \(A\) и радиусом, равным длине отрезка \(AB\).
Уравнение окружности с центром \(A(x_1, y_1)\) и радиусом \(r = AB\) имеет вид:
\[
(x — x_1)^2 + (y — y_1)^2 = r^2
\]
2. Построим окружность с центром в точке \(B\) и радиусом, равным длине отрезка \(AB\).
Уравнение окружности с центром \(B(x_2, y_2)\) и радиусом \(r = AB\) имеет вид:
\[
(x — x_2)^2 + (y — y_2)^2 = r^2
\]
3. Найдем точки пересечения этих окружностей. Решение системы уравнений:
\[
(x — x_1)^2 + (y — y_1)^2 = r^2
\]
\[
(x — x_2)^2 + (y — y_2)^2 = r^2
\]
дает две точки пересечения \(M(x_3, y_3)\) и \(M_1(x_4, y_4)\).
4. Проведем прямую \(MM_1\), которая проходит через точки \(M\) и \(M_1\).
Уравнение прямой через две точки \(M(x_3, y_3)\) и \(M_1(x_4, y_4)\) имеет вид:
\[
y — y_3 = \frac{y_4 — y_3}{x_4 — x_3}(x — x_3)
\]
5. Прямая \(MM_1\) является серединным перпендикуляром к отрезку \(AB\), так как она проходит через точки пересечения окружностей, построенных с одинаковым радиусом \(AB\), и перпендикулярна отрезку \(AB\).
Ответ: построенная прямая \(MM_1\) — искомый серединный перпендикуляр.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.