Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 685 Атанасян — Подробные Ответы
Высоты \( AA_1 \) и \( BB_1 \) равнобедренного треугольника \( ABC \), проведённые к боковым сторонам, пересекаются в точке \( M \). Докажите, что прямая \( MC \) — серединный перпендикуляр к отрезку \( AB \).
Дано:
\(\triangle ABC\) — равнобедренный;
\(AC = CB\);
\(AA_1, BB_1\) — высоты;
\(AA_1 \cap BB_1 = M\).
Доказательство:
1) Точка \(M\) — пересечение высот \(AA_1\) и \(BB_1\), следовательно, \(CM\) — высота к \(AB\), а значит, \(CM \perp AB\).
2) Рассмотрим прямоугольные треугольники \(\triangle ACK\) и \(\triangle BCK\). У них общая гипотенуза \(CK\), а также \(AC = CB\) (по условию). Следовательно, \(\triangle ACK = \triangle BCK\) (по гипотенузе и катету), отсюда \(AK = KB\).
Что и требовалось доказать.
Дано:
\(\triangle ABC\) — равнобедренный (\(AC = CB\));
\(AA_1, BB_1\) — высоты;
\(AA_1 \cap BB_1 = M\).
Доказать:
1) \(CM \perp AB\);
2) \(AK = KB\).
Решение:
1) Рассмотрим свойства высот треугольника. Точки пересечения высот в треугольнике равнобедренного типа совпадают с его ортоцентром. Поскольку \(AA_1\) и \(BB_1\) — высоты, их пересечение в точке \(M\) гарантирует, что \(CM\) также является высотой, проведенной от вершины \(C\) к основанию \(AB\). Высота по определению перпендикулярна основанию треугольника, следовательно, \(CM \perp AB\).
2) Для доказательства равенства отрезков \(AK\) и \(KB\) рассмотрим прямоугольные треугольники \(\triangle ACK\) и \(\triangle BCK\).
Треугольники \(\triangle ACK\) и \(\triangle BCK\) имеют:
а) Общую гипотенузу \(CK\);
б) Катеты \(AC\) и \(BC\), которые равны (\(AC = CB\) по условию).
Согласно признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету), \(\triangle ACK = \triangle BCK\).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон, а именно \(AK = KB\).
Таким образом, доказано:
1) \(CM \perp AB\);
2) \(AK = KB\).
Что и требовалось доказать.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.