ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 685 Атанасян — Подробные Ответы

Высоты \( AA_1 \) и \( BB_1 \) равнобедренного треугольника \( ABC \), проведённые к боковым сторонам, пересекаются в точке \( M \). Докажите, что прямая \( MC \) — серединный перпендикуляр к отрезку \( AB \).

Дано:
\(\triangle ABC\) — равнобедренный;
\(AC = CB\);
\(AA_1, BB_1\) — высоты;
\(AA_1 \cap BB_1 = M\).

Доказательство:
1) Точка \(M\) — пересечение высот \(AA_1\) и \(BB_1\), следовательно, \(CM\) — высота к \(AB\), а значит, \(CM \perp AB\).

2) Рассмотрим прямоугольные треугольники \(\triangle ACK\) и \(\triangle BCK\). У них общая гипотенуза \(CK\), а также \(AC = CB\) (по условию). Следовательно, \(\triangle ACK = \triangle BCK\) (по гипотенузе и катету), отсюда \(AK = KB\).

Что и требовалось доказать.

Дано:
\(\triangle ABC\) — равнобедренный (\(AC = CB\));
\(AA_1, BB_1\) — высоты;
\(AA_1 \cap BB_1 = M\).

Доказать:
1) \(CM \perp AB\);
2) \(AK = KB\).

Решение:
1) Рассмотрим свойства высот треугольника. Точки пересечения высот в треугольнике равнобедренного типа совпадают с его ортоцентром. Поскольку \(AA_1\) и \(BB_1\) — высоты, их пересечение в точке \(M\) гарантирует, что \(CM\) также является высотой, проведенной от вершины \(C\) к основанию \(AB\). Высота по определению перпендикулярна основанию треугольника, следовательно, \(CM \perp AB\).

2) Для доказательства равенства отрезков \(AK\) и \(KB\) рассмотрим прямоугольные треугольники \(\triangle ACK\) и \(\triangle BCK\).

Треугольники \(\triangle ACK\) и \(\triangle BCK\) имеют:
а) Общую гипотенузу \(CK\);
б) Катеты \(AC\) и \(BC\), которые равны (\(AC = CB\) по условию).

Согласно признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету), \(\triangle ACK = \triangle BCK\).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон, а именно \(AK = KB\).

Таким образом, доказано:
1) \(CM \perp AB\);
2) \(AK = KB\).

Что и требовалось доказать.